Аппроксимация преобразования Фурье
Предположим, что преобразование Фурье $\hat{f}(k)$ (с участием $k \in \mathbb{R}^d$), и мы хотим получить некоторую информацию о его аналоге в пространстве позиций. $f(x)$. Когда аналитический расчет обратного преобразования Фурье$\hat{f}(k)$ невозможно, но все же можно извлечь полезную информацию, специализируясь на определенных регионах $k$Космос; например, в статистической физике часто принято изучать «макроскопические» свойства, например, корреляционных функций, исследуя$k\to 0$предел их преобразований Фурье. Мне кажется, что такой процесс в некоторой степени аналогичен рассмотрению ряда Тейлора преобразования Фурье , то есть \ begin {Equation} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {уравнение} Если кто-то усекает этот ряд, а затем пытается выполнить на нем обратное преобразование Фурье,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ в некоторых случаях можно обнаружить, что результат расходится как $k\to\infty$. Однако во многих теориях, особенно в теориях поля, существует верхнее обрезание для$k$что определяет диапазон применимости этой теории; такое обрезание часто разрешает возможное расхождение обратного преобразования Фурье.
Вопрос: Может ли функция позиционного пространства, полученная в результате обратного преобразования усеченного ряда Тейлора$\hat{f}_{\rm trunc}$, с некоторой отсечкой $\Lambda$, аппроксимируем исходную функцию$f(x)$в любом смысле? в противном случае существует ли систематический способ получения такой приближенной формы из его преобразования Фурье$\hat{f}(k)$?
Ответы
Когда вы усекаете расширение Тейлора вокруг $0$, вы говорите, что вас интересуют длинноволновые моды. Часто это долгоживущие режимы, поэтому в течение долгого времени они приблизительно описывают вашу систему. По духу это похоже на грубое зерно: вы забываете о быстрой микроскопической динамике и сохраняете только макроскопическую информацию. В более строгом смысле$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, поэтому, если аппроксимация вашего преобразования Фурье в $L^2$ смысл, так что это будет приближение позиционного пространства $f(x)$.