Асимптотическая плотность натуральных чисел $n$ удовлетворение $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ равно нулю?

Question

(Этот пост является ответвлением этого вопроса MSE .)

Позволять $\sigma(x)$ обозначим сумму делителей $x$. (https://oeis.org/A000203)

ВОПРОС

Асимптотическая плотность натуральных чисел $n$ удовлетворение $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ равно нулю?

Я пробовал искать примеры и контрпримеры к уравнению $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$через сервер Sage Cell , он дал мне этот вывод для следующего скрипта Pari-GP :

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

Все положительные целые числа из $1$ к $100$ (кроме целого числа $99$) удовлетворить $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

Обобщая первый (встречный) пример $99$ тривиально.

Если ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, тогда $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ и $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Таким образом, рассматриваемая асимптотическая плотность меньше, чем$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

Кроме того, если $3 \parallel n$, то с вероятностью $1$ существует два различных простых числа $y$ и $z$ соответствует $1$ по модулю $3$ такой, что $y \parallel n$ и $z \parallel n$. В этом случае получаем$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ и $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Таким образом, рассматриваемая асимптотическая плотность меньше, чем$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

Настоящая открытая проблема заключается в том, равна ли асимптотическая плотность $0$.

Answer 1

Думаю, плотность действительно уходит в ноль, но довольно медленно. Если$p \equiv 1 \bmod 6$ простое, то есть два решения $0<r<s<p-1$ из $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

Если $p\parallel n$ то с вероятностью $1,$ есть два разных простых числа $x $ и $ y,$ каждый соответствует $r \bmod p,$ с участием $x \parallel n$ и $y \parallel n.$ (Любой из них или оба могут соответствовать $s$ также.)

потом $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ в то время как $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ Таким образом, асимптотическая плотность, чтобы этого не произошло, равна $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

Если мы можем утверждать, что вероятность того, что ни одно из этих событий не произойдет, асимптотически $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ по простым числам, совпадающим с $1 \bmod 6,$ тогда эта асимптотическая плотность равна $0.$