Является $C^{*}$-алгебра - самый современный способ изучения QFT?
Я не эксперт ни в QFT, ни в $C^{*}$-алгебры, но я пытаюсь изучить основы QFT. Во всех книгах / статьях и других материалах, которые я знаю, QFT изучается в основном с использованием большого количества функционального анализа и теории распределения, но я знаю, что некоторые алгебраические конструкции также используются, и в этом контексте$C^{*}$-алгебры кажутся самым современным инструментом. Итак, что такой неопытный студент, как я, должен знать об этих подходах к QFT и статистической механике? Какова роль$C^{*}$-алгебры и другие алгебраические методы в этих теориях? Какие проблемы им подходят лучше? Если я хочу изучать QFT, нужно ли мне учиться$C^{*}$-алгебра? Существуют ли проблемы, в которых алгебраические методы не подходят? Есть ли проблемы, в которых любой из подходов эффективен? Что теряешь, не зная этих алгебраических построений?
ДОБАВИТЬ: Я работаю со строгой статистической механикой, но я пытаюсь изучить некоторые QFT, потому что ... ну, на определенном уровне это две связанные области. Однако я еще не знаю, что и сколько мне нужно узнать о QFT. У меня есть опыт в функциональном анализе и теории распределения, но не в$C^{*}$-алгебра. Неопытному студенту будет очень полезно получить общую картину, то есть какие проблемы он пытается решить в QFT и где каждый из этих подходов вступает в игру. Я думаю, что каждый из этих инструментов применим к разным видам проблем или даже к разным частям теории, но я не знаю наверняка.
Ответы
В моей докторской работе довольно часто использовались C * -алгебры, так что я думаю, что могу претендовать на некоторый опыт в этой области, но я не эксперт в QFT. Это будет основная перспектива моего ответа.
Хорошей отправной точкой для этого обсуждения является теорема Стоуна-фон Неймана, основополагающий результат как в операторных алгебрах, так и в квантовой механике. Установка основана на принципе неопределенности Гейзенберга, который утверждает, что операции измерения положения$x$ и импульс $p$ квантовой системы не коммутируют:
$$[x,p] = 2\pi i h$$
Важный математический вопрос о квантовой механике на раннем этапе ее существования заключался в следующем: какие объекты$x$ и $p$? Физики хотят, чтобы они были самосопряженными операторами в некотором гильбертовом пространстве, но вы можете строго доказать, что ни одна пара ограниченных операторов не обладает этим свойством. Этот результат принадлежит теории представлений алгебр Ли - по сути, алгебры Ли с двумя образующими и указанным выше соотношением не имеет представления ограниченными самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве.
Идея Стоуна и фон Неймана заключалась в том, чтобы сосредоточить внимание на группе Ли, а не на алгебре Ли; указанное выше соотношение является производной в точке 0 следующего отношения между операторами временной эволюции$U(t)$ и $V(s)$:
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
Группа Ли, порожденная такими $U$ и $V$называется группой Гейзенберга , и теорема Стоуна-фон-Неймана утверждает, что эта группа имеет единственное унитарное представление в гильбертовом пространстве с точностью до унитарной эквивалентности (и некоторых прилагательных, в которые я не буду вдаваться). Это обеспечивает хорошую основу для базовой квантовой механики, которая объединяет картины теории Гейзенберга и Шредингера в один набор аксиом.
Чтобы работать с более сложными квантовыми системами, нам нужно обобщить на большее количество операторов, удовлетворяющих, возможно, более сложным соотношениям. Вот как работает это обобщение:
- Начнем с локально компактной группы $G$; для исходной теоремы Стоуна-фон-Неймана,$G = \mathbb{R}$.
- Преобразование Фурье определяет и изоморфизм $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, где $C^*(G)$ - групповая С * -алгебра и $\hat{G}$ является двойственным по Понтрягину.
- Такой изоморфизм эквивалентен унитарному представлению алгебры скрещенных произведений $C_0(G) \rtimes G$.
- Все безупречные элементы этой C * -алгебры унитарно эквивалентны.
Итак, теперь у нас есть квантовая механика для систем с множеством частиц. Но как насчет QFT? Основная причина трудностей QFT, насколько я понимаю, состоит в том, что теорема Стоуна-фон-Неймана больше не верна.
Для обычной квантовой механики классические фазовые пространства - это конечномерные многообразия - например, классическое фазовое пространство одиночной частицы, летящей в $\mathbb{R}^3$ является $\mathbb{R}^6$. Однако классический аналог фазового пространства в квантовой теории поля - это пространство путей в$\mathbb{R}^3$, которое является своего рода бесконечномерным многообразием. Это означает, что бесконечно много операторов с бесконечно большим числом коммутационных соотношений, и соответствующие бесконечномерные группы Ли, в той мере, в какой они вообще существуют, имеют гораздо более сложную теорию представлений.
Итак, теперь я могу попытаться ответить на ваш вопрос. Операторные алгебры были более или менее изобретены для того, чтобы обеспечить хорошую модель квантовой механики. Приятное свойство, которым обладает эта модель, а именно то, что существует только одна ее реализация с точностью до унитарной эквивалентности, больше не соответствует действительности в КТП. Таким образом, одна (неявная) цель большой работы в QFT - справиться с этой ситуацией и найти лучшую основу. Я понятия не имею, являются ли C * -алгебры лучшим или самым современным способом думать о КТП - возможно, нет, - но для студента лучше всего изучить теорему Стоуна-фон-Неймана в некоторой разумной общности, поскольку мы можем Во многом виноват в сложности QFT его отсутствие.
Опять же, предварительный ответ от неспециалиста: скорее всего, вмешается кто-то, кто является настоящим мастером-джедаем в области математической физики / операторных алгебр.
В классической КМ мы начинаем с гильбертова пространства состояний $H$, и строится оттуда, рассматривая специальные типы операторов, действующих на $H$(унитарный для симметрий и эрмитов для наблюдаемых). Таким образом, в некотором смысле операторные алгебры существуют с самого начала, хотя в классической КМ это выглядит и ощущается так, как будто основные сущности являются (квантовыми) состояниями, а вторичные - процессами (операторами).
Но я думаю, будет справедливо сказать, что движение было направлено на инверсию порядка, в некотором смысле, начиная с алгебры абстрактных операторов, а затем моделируя множество состояний с помощью печально известной двойственности Гельфанда. То , что я просто набросал супермаркет чат на алгебраическом квантовой теории поля (вы можете найти конденсат здесь ).
Вы можете спросить, почему: я не уверен, но мне кажется, что движение к процессам, а не к состояниям, имеет смысл
- математически (например, он связан с Некоммутативной геометрией Конна, где каждый работает непосредственно с некоммутативными алгебрами, как если бы они были алгебрами функций над призрачным некоммутативным пространством). Алгебры достаточно хороши, чтобы охватить топологию и геометрию призрачного пространства, а также поддаются более абстрактному оборудованию.
- физически. Растет понимание того, что QM / QFT - это процессы / взаимодействия, а не мир, в котором системы существуют сами по себе. См., Например, реляционную интерпретацию Ровелли , чтобы процитировать только один вариант.
ДОБАВЛЕНИЕ: Итак, алгебры C * - новейший инструмент для QFT? Ответ: какую QFT вы имеете в виду? Например, в квантовой гравитации ответ определенно отрицательный. Там люди играют со всевозможными вкусностями, от теории высших категорий до уже упомянутой некоммутативной геометрии, до ... почти всего, что находится под солнцем, и даже немного больше.