Целочисленные длины в треугольнике

Question

Если $a,b,c$ - длины сторон прямоугольного треугольника, где $a$ гипотенуза, то возможно ли, что $c$, $b$, $\sqrt{a^2-ac}$, $\sqrt{a^2-ab}$быть целыми числами? Я получил это в другой задаче геометрии, но я не знаю, как это сделать.

Answer 1

Так как $\sqrt{a^2-ac}$, $\sqrt{a^2-ab}$ целые числа, получаем $a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$ или $a\in\mathbb Z$. Ясно,$b\neq c$ и поэтому, $a\in\mathbb Z$. Так как$\triangle ABC$ прямоугольный треугольник с целыми сторонами, получаем, $$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$для некоторых $m,n\in\mathbb N$. Позволять,$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$Теперь как $a(a-c)$ и $a(a-b)$ идеальные квадраты, мы должны иметь $2(m^2+n^2)$ и $m^2+n^2$как идеальные квадраты, что абсурдно. Таким образом, исходная гипотеза неверна.

Answer 2

КОММЕНТАРИЙ.-Если $a$ иррационально тогда $a=a_1\sqrt n$ так что у нас есть $\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$ что невозможно для $c$ положительное целое число (действительно только для $c=0$ так $c$не может быть стороной треугольника). Следовательно, вы должны иметь$(a,b,c)$ - треугольник Пифагора.

Попробуйте решить проблему с $a,b$ и $c$ целые числа.