Что более плохо обусловлено, матрица корреляции активов или матрица ковариаций?

Aug 17 2020

Если у меня есть матрица многомерной доходности активов для $N$акций, и я вычисляю из нее ковариационную матрицу, а затем корреляционную матрицу, могу ли я всегда знать, какой из двух будет иметь более высокое число обусловленности (чем выше до бесконечности, тем хуже обусловлено, в отличие от почти 1 для хорошо обусловленных) ? или число обусловленности двух разных (типов) матриц совершенно несопоставимо?

Если один всегда более обусловлен, чем другой, есть ли этому математическое доказательство? приветствуются другие критерии помимо номера условия

Ответы

1 Quantoisseur Aug 17 2020 at 18:54

Да, вы можете сравнивать номера условий матрицы, если оцениваете их для одной и той же задачи, например, принимая обратную матрицу. Для L2:

Чтобы получить дополнительную математическую характеристику кондиционирования и его воздействия, ознакомьтесь с первой половиной этих конспектов лекций одного из моих занятий: https://github.com/mandli/intro-numerical-methods/blob/master/12_LA_conditioning_stability.ipynb

1 develarist Aug 18 2020 at 13:33

Попробовав это со случайно сгенерированными векторами, я постоянно вижу, что корреляционная матрица случайно сгенерированных чисел, независимо от того, из какого распределения они выбираются, всегда более хорошо обусловлена, чем матрица ковариаций. Что странно, потому что ковариационная матрица существует перед корреляционной матрицей: корреляционная матрица должна быть вычислена из ковариационной матрицы, а наоборот невозможно.

Другими словами, ковариационная матрица, будучи более плохо обусловленной, фактически преобразуется в более хорошо обусловленную, стабильную матрицу, когда она преобразуется в корреляционную матрицу.

что заставляет меня задаться вопросом, не лучше ли было бы для всех финансовых моделей, основанных на ковариационной матрице, использовать корреляционную матрицу в качестве входных данных, учитывая всю враждебность по отношению к нестабильности и плохой обусловленности ковариации. Я знаю, что ковариация обладает дисперсией или риском, поэтому наклонные модели для строгой интерпретации корреляций вместо этого приведут к упущению более релевантного показателя, которым является риск, а не корреляция, поэтому кажется, что мы ставим интерпретируемость на первое место по сравнению с другими высокоразвитыми. -связанные с опциями, что достигается ценой численной нестабильности и ошибки оценки