Что на самом деле означает / содержит этот набор? [дубликат]

Question

Мне сложно понять следующий набор:

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] := \{ a + \sqrt{2}b : a,b \in \mathbb{Z}\}$$Какие элементы он на самом деле содержит? я думал$\mathbb{Z}$ содержит только целые числа, так что корень $2$ за $\mathbb{Z}$ значить?

Спасибо.

Answer 1

Вы правы: $\mathbb{Z}$содержит только целые числа. Однако представленный здесь набор является подмножеством$\mathbb{R}$ и таким образом может содержать $\sqrt{2}$.

Обозначение говорит, что он содержит все элементы формы $a+\sqrt{2}b$, где $a$ и $b$целые числа. Приведу несколько примеров:

$a=b=1$: Потом $a+\sqrt{2}b = 1+\sqrt{2}$.

$a=b=0$: Потом $a+\sqrt{2}b = 0$.

$a=3, b=-2$: Потом $a+\sqrt{2}b = 3-2\sqrt{2}$.

$b = 0$: Потом $a+\sqrt{2}b = a$и из-за этого в вашем наборе есть любое целое число. Но, как вы видели, также нецелые числа, такие как$1+\sqrt{2}$ может быть частью этого набора.

Надеюсь, это поможет немного прояснить ситуацию.