Что означает объем динамической системы
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemобъясняет, что объем пространства состояний или фазового пространства инвариантен. Лекции записку под названием «11 странных аттракторов и Ляпунову тусклый.» из книги Строгаца показывает в уравнении (2) преобразование координат объема. Я хочу понять, означает ли приведенное в примечании доказательство, что объем систем со странным аттрактором инвариантен относительно некоторого преобразования, такого как преобразование координат. Путем преобразования координат мы можем произвести реконструкцию фазового пространства и, используя это, мы можем получить странный аттрактор . При правильном выборе настройки параметров хаотической динамической системы мы можем увидеть странное. Но я не могу понять доказательства.
Вопрос: Может ли кто-нибудь показать, как доказать, что объем для систем со странными аттракторами инвариантен к преобразованию, и что это означает.
Объем странных аттракторов сжимается или расширяется?
ОБНОВЛЕНИЕ: 18 августа
Основываясь на обсуждении под комментариями, это то, что я мог написать, исходя из того, что я мог понять. Будем признательны за помощь в элегантном завершении корректуры.
Доказательство: объем странного аттрактора, показываемый системами в хаотической динамике, инвариантен относительно некоторого преобразования и является мерой или метрикой.
Моя идея в том, что пусть $n_a$ - размерность аттрактора и $d$ - размерность вложения, а аттрактор имеет объем $v$ с размерностью аттрактора $n_a$. Если доступны скалярные временные ряды, то мы можем восстановить аттрактор в$d$ размерное фазовое пространство методом отложенного вложения Таккенса, $d \ge 2n+1$ где $n$- размерность наблюдаемой системы. Мы не знаем реальной стоимости$n_a$. Поскольку для диссипативных систем объем$v \le 0$, если и только если $n \le n_a$, и равен нулю, так как его размер меньше $n_a$. Следовательно, любая диссипативная система сохраняет объем аттрактора, равный нулю. Что касается изменения координат, поскольку аттрактор является множеством нулевой меры, образ аттрактора под любой гладкой картой также будет нулевой мерой.
Теперь, как мне доказать, что аттрактор является нулевым множеством мер и метрикой, подобной мере Лебега? Может кто-нибудь помочь официально написать это доказательство? Спасибо.
Ответы
Когда они говорят «объем», они действительно имеют в виду «меру». Мера на пространстве$X$ это функция $\mu$ который назначает длины (или площади, или объемы, или вероятности - конкретное пространство $X$ или контекст обычно диктует, как вы относитесь к тому, что является мерой, ну, измерением) к "хорошим" предметам $X,$ где "хороший" означает заранее, что кто-то выбрал несколько подмножеств $X$что мы можем измерить. Эти множества называются измеримыми.
Карта $T : X\rightarrow X$ как говорят $\mu$-инвариантно, если (а) всякий раз $S$ измеримо, так же $T^{-1}(S)$, и (б) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ всякий раз, когда $S$ измеримо.
Что касается того, как это проверить, это во многом зависит от деталей. Один невероятно распространенный и полезный прием состоит в том, что вам не нужно проверять выполнение условий (a) или (b) для каждого измеряемого подмножества - если вы проверяете (a) и (b) на семействе множеств, которое `генерирует ' набор измеримых множеств, то можно заключить, что он выполняется везде. Например, если ваше пространство было$X = [0, 1]$ с обычной «мерой Лебега», задающей подмножество $X$ это длина, достаточно проверить, что $T$ сохраняет меры интервалов.
Пара вещей:
- Обратите внимание на примечание к уравнению 2:
Диссипативные системы имеют аттракторы, в то время как системы, сохраняющие объем, не могут иметь аттракторов или репеллеров.
Это верно в том смысле, что «объем» означает меру Лебега, т. Е. Нормальное определение объема на $\mathbb{R}^n$. Аттракторы обязательно имеют меньшую размерность, чем само фазовое пространство, поэтому его объем (в смысле Лебега) должен быть равен 0; например, объем поверхности в$\mathbb{R}^3$равен 0, поскольку поверхность двумерна. Возможно, такое сохранение объема тривиально, потому что аттрактор обязательно имеет нулевой объем по Лебегу.
Так что это, кажется, ответ на ваш вопрос на первый взгляд. Однако динамика на странных аттракторах обычно эргодична , и это раздел, который вы читаете в первой статье Википедии. Эргодическая динамика обычно имеет то, что называется инвариантной мерой , что означает, что существует некоторое понятие объема (меры), которое сохраняется динамикой (инвариант). Следовательно, если аттрактор можно параметризовать, т.е. найти замену координат с$\mathbb{R}^n$ к аттрактору, то «объем» в смысле инвариантной меры аттрактора и динамики действительно сохранится.