Чтобы показать, что центр гомотетии наибольшей и наименьшей окружностей лежит в общей касательной над T

Question

$c_1$ сосредоточен на $A$ проходя через $B$.

$BB′$ диаметр $c_1$.

$T$ случайная точка в сегменте $BB′$.

$c_2$ сосредоточен на $B′$ проходя через $T$.

$c_3$ сосредоточен на $B$ проходя через $T$.

$c_4$ касающийся снаружи $c_2$ и $c_3$ и внутренне касающийся $c_1$

$F$ центр $c_4$ и $H,I$ являются точками касания.

Мне ясно что $Z = HI \cap AF$ является вторым центром гомотетии $c_1$ и $c_4$ и я хотел бы доказать, что он также лежит в этой линии перпендикулярно $AB$ через $T$.

важный связанный результат, который вам, вероятно, следует знать: показать, что эти три круга имеют общие внешние касательные

Похоже, это общий результат про грязные круги

Answer 1

• Пусть общая касательная в точке $T$ встретиться $AF$ в $Y$ и пусть перпендикулярно $AB$ через $F$ встретиться $AB$ в $L$.

  
  Затем мы вычисляем$y=LT$ по теореме Пифагора: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ так $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ и так мы получаем $$y= {ac\over a+b}$$ так $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• С другой стороны, пусть $X$ быть в $HI\cap AF$.

  
  Гомотетия$H_1$ в $H$ и коэффициент ${b\over c}$ берет $F$ к $B'$ и гомотетия $H_2$ в $G$ и коэффициент ${a+b\over b}$ берет $B'$ к $A$, так состав $H_2\circ H_1$ берет $F$ к $A$ и имеет центр в $FA\cap GH =X$. Эта композиция имеет коэффициент$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ так $X$ разделяет $AF$ в том же соотношении, что и $Y$ и поэтому $X=Y$ и мы закончили.

Answer 2

Аргумент в ответе Аквы можно сократить следующим образом. Мы используем те же имена точек, но здесь$a,b,c$ радиусы окружностей с центром в $A,B',F$ соответственно (это меняет значение $a$). Позволять$LT:TA$ быть $x$.

Как описано в " Геометрии треугольника Юй" , стр. 2 , внутренний гомотетический центр$X$ (он же внутренний центр подобия) двух кругов $O(R),I(r)$ делит сегмент $OI$ в соотношении $R:r$. Таким образом, внутренняя гомотетическая точка$F(c),A(a)$ разделяет $FA$ в соотношении $c:a$.

Используя теорему Пифагора, как в ответе Аквы, мы получаем

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

Решение для $x$(используя онлайн-решатель, если мы ленивы) получаем$x=\dfrac{c}{a}$. Таким образом

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

так $Y$ внутренний гомотетический центр $c_1,c_4$.