Чтобы показать, что интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ сходится и меньше или равно $n^{3/2}\pi$ [дубликат]

Dec 10 2020

Рассмотрим многочлен $p \in \mathbb{R}[x]$ степени $n$и без настоящих корней. Докажи это$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$сходится и меньше или равно $n^{3/2}\pi$

Мой подход

Теперь позвольте $x_1, x_2, \dots, x_n$ быть корнями $p$. Автор: Коши-Шварц

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

Я не знаю, что делать дальше. Если я ошибаюсь, просьба дать подробный ответ в разделе ответов. Я показал то, о чем думал или что сделал.

Может ли кто-нибудь подтвердить правильность моего мыслительного процесса?

Напоминаем ... Этот вопрос долгое время лежал без ответа

Спасибо.

Ответы

HenryLee Dec 11 2020 at 01:33

Прежде всего, мы можем определить: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$


Теперь по полиномиальной теореме: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ Из этого вы сможете придумать выражение для: $p_n^2$ и $p_n'^2$.


Теперь также обратите внимание, что из того, что мы знаем (из-за отсутствия настоящих корней): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ мы знаем это: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ и так ясно, что: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$