Делает $(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) $ держать?

Aug 20 2020

Существует ли положительная постоянная $c>0$ такой, что $$(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) \tag{1}$$

справедливо для любого неотрицательного $x,y$?

Позвольте мне добавить контекст для этого вопроса:

Мотивация исходит из того случая, когда $x,y$ интерпретируются как особые значения $2 \times 2$ матрица $A$с неотрицательным определителем. потом$f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2=\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$.

Я заинтересован в ограничении $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$ сверху суммой двух членов: срок, который наказывает отклонения $A$ от сохранения территории, а срок $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$, который наказывает отклонения от конформности. (Вот$\operatorname{CO}(2)=R^{+}\operatorname{SO}(2)$ - группа конформных матриц).

В ответ на этот мой предыдущий вопрос была доказана следующая оценка:$$ (x-1)^2+(y-1)^2 \le |x-y||x+y| + 2|xy-1|. $$

Хотя это близко к тому, что я имел в виду, термин $|x-y||x+y|$ может быть большим, даже когда $x,y$стать очень близкими. Фактически, можно доказать, что $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))=\frac{1}{2}(\sigma_1(A)-\sigma_2(A))^2$, поэтому это причина спрашивать о конкретной границе $(1)$. (Период, термин$(x-y)^2$ соответствует $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$).

Ответы

3 nguyenhuyen_ag Aug 20 2020 at 14:00

Позволять $x=y=0,$ мы получаем $c \geqslant 2.$

Для $c =2,$ неравенство стало $$(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big),$$ эквивалентно $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8xy.$$ Используя неравенство AM-GM, имеем $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8\sqrt[8]{(x^2y^2)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (xy)^2}=8xy.$$ Итак, ваше неравенство справедливо для всех $c \geqslant 2.$