Дифференциальное неравенство относительно сравнения объемов
Позволять $(M,g)$ быть полным $n$-мерное риманово многообразие и пусть $p \in M$. Рассмотреть возможность$(t,\Theta)$ , геодезические сферические координаты вокруг $p$, где $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ а также $\Theta$ является единичным вектором в $T_pM$. Позволять$A_p(t,\Theta)$- плотность меры объема в этих координатах, то есть \ begin {уравнение *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {уравнение *} . Известная теорема Громова утверждает что если$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, то карта \ begin {уравнение} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {уравнение} не является -увеличение$t$. По-прежнему,$sn_{\kappa}$задается как \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} Теперь я хотел бы доказать аналогичный результат, когда секционная кривизна$M$ограничено сверху. То есть, если$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, тогда
\ begin {уравнение *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ right) + \ kappa \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ right) \ geqslant 0 \ end {уравнение *} I ' я пытаюсь имитировать аргумент Громова, позволяя$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ и подсчитайте, что $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, где $\text{II}(t)$ вторая фундаментальная форма $\partial B(p,t)$. Но поскольку мы не доказываем утверждение о монотонности, я не знаю, как мне избавиться от власти.$(n-2)$. Прямая дифференциация такого выражения кажется пугающей и утомительной, и я считаю, что есть более короткий путь к проблеме, поскольку он очень похож на оценку нормы полей Якоби. Любое понимание проблемы будет оценено.
$\textbf{Update}$: На днях я подумал, что у меня есть решение, но после повторной проверки я не думаю, что это работает. Вот что я сделал: пусть$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ можно использовать вычислительный трюк $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $чтобы вычислить, что \ begin {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {align *} и что \ begin {align *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} Обратите внимание, что$\varphi(t)$ неотрицательно, когда $t$мала, поэтому, чтобы показать, что исходное неравенство истинно, достаточно показать, что \ begin {equal *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {уравнение *}
Напомним, что вторая сравнительная оценка (ср. Петерсон, стр. 145 Кор. 2.4) утверждает, что если секционная кривизна ограничена сверху величиной $\kappa$, то каждая компонента второй фундаментальной формы может быть ограничена снизу, т.е. \ begin {Equation *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {уравнение *}, что дает нам \ begin {уравнение} \ text {tr } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ тег{$\star \star$} \ end {уравнение} и \ begin {уравнение *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {формула *} Я подумал, снова вставить это выражение в$\star$решит проблему, так как \ begin {Equation *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {формула *} Но я сделал фатальная ошибка, заявив, что$f \geqslant g$ подразумевает $f' \geqslant g'$! Похоже, я вернулся к исходной точке, хотя выражение у меня было относительно красивым. Любое понимание или помощь будут оценены.
Ответы
Так что мой профессор дал мне идею, как решить эту проблему. После того, как мы получим \ begin {уравнение *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Часть A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Часть B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {уравнение *} Мы можем использовать уравнение Риккати, чтобы переписать \ begin {align *} \ text {Part A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} И после расширения$\text{Part B}$, $\star$становится \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Часть A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Часть B}} + \ каппа \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} где$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ являются собственными значениями $\text{II}(t)$. Последнее неравенство следует из сравнения Гессе, которое указано в следствии 2.4 книги Петерсена.