Доказать существование и единственность задачи Коши

Question

Мне нужна помощь в доказательстве существования и уникальности следующей задачи Коши:

\ begin {cases} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {cases}

Это может быть преобразовано в систему первого порядка, где $f$ определяется как $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

Чтобы доказать (локальное) существование и единственность, мне нужно показать, что $f$ локально липшицево $y$, (это правая часть ОДУ)

Я вычисляю:

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

Таким образом, для $|x| < a$ (т.е. в районе $x_0=0$ я имею $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, так что это локально Липшицев ( но не глобально )

Все правильно?

Answer 1

У тебя есть функция $f(x,y)$неправильно. Что вам нужно сделать, так это определить третью переменную, которая будет служить первой производной от$y$. Вам нужна функция$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. Это функция, которую вы хотите показать, это липшицева.

Answer 2

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ Изменение переменной:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$Это уравнение Бесселя, решение которого хорошо известно. См. Уравнения (6) и (7) в:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ и $Y_0$- функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Общее решение ODE:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ Коэффициенты $c_1$ и $c_2$ определяются согласно условиям $y(0)=1$ и $y'(0)=0$ что приводит к единственному решению: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$