Доказательства $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$, категории, расслоенные в наборы
Лемма 3,34: Для$F,G,H$ предварительные пучки в дискретных категориях / наборах: $$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$
Доказательство. Единственными 2-морфизмами категорий, расслоенных на множества, являются тождества. (Ссылка:http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf )
Вопрос: Я не совсем уверен в доказательстве, где при доказательстве леммы используются 2-морфизмы категорий, расслоенных на множества - тождества.
Попытка: мы хотим показать эквивалентность категорий между $\mathfrak{S}_{F \times_H G}$ и $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$. Достаточно послойно проверить, что$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ для всех $S \in \mathfrak{S}$. По лемме$3.9$, $\mathfrak{S}_{F}$ является расслоенной категорией над $\mathfrak{S}$, поэтому можно воспользоваться леммой $3.31$ который применяется к расслоенным категориям и получает $\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ для всех $S \in \mathfrak{S}$. Получаем 1-морфизм, изоморфизм$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$, а обратное обозначим как $\alpha^{-1}$. Это эквивалентность, поскольку 2-морфизм$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$является единицей, следовательно, 2-изоморфизм. Так же,$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$ является 2-изоморфизмом.
Напомним / Резюме (Пример 3.8 p17):
2 категории $\mathfrak{S}_F$:
Позволять $F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$быть функтором (т.е. предпучком категорий). Ассоциироваться с$F$ следующая расслоенная категория $\mathfrak{S}_F$ над $\mathfrak{S}$: Объекты парные $(U,x)$ объектов $U$ в $\mathfrak{S}$ и $x \in F(U)$. Морфизмы из$(U, x)$ к $(V, y)$ пары $(f, \varphi)$ морфизмов $f : U \to V$ и $\varphi : x \to f^* y$, где мы пишем $f^∗ := F(f)$. Состав$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$ определяется как $(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$. Проекция на$\mathfrak{S}$ забывает второй компонент пары.
Ответы
Похоже, в этом вопросе есть две путаницы.
Пункт 1: Почему только 2-морфизмы категорий расслоены на множества тождества?
Ну что такое 2-морфизм расслоенных категорий?
Позволять $A$ быть базовой категорией, $P:B\to A$, $Q:C\to A$ слоистые категории (более $A$), $F,G:P\to Q$ 1-морфизмы расслоенных категорий (т. Е. Такие функторы, что $QF=QG=P$). Тогда 2-морфизм$\alpha:F\to G$ это естественное преобразование из $F$ к $G$ со свойством, что $Q(\alpha_b)=1_{Pb}$ для всех $b\in B$ (т.е. $\alpha_b$ лежит в Q-слое над $Pb$ для всех $b \in B$).
В случае, если $Q$ расслоено на множества, так как $\alpha_b$ всегда в $Q$-волокно поверх $Pb$ (который является дискретным / набором), мы имеем, что $\alpha_b$является морфизмом идентичности. поскольку$\alpha_b:Fb\to Gb$ является морфизмом тождества, заключаем, что $Fb=Gb$ для всех $b\in B$, и для всех $f:b\to b'$, квадраты естественности заставляют $Ff=Gf$, так $F=G$, и $\alpha=1_F=1_G$.
Другими словами, если $Q$ имеет дискретные слои, то категории hom $\mathbf{Fib/A}(P,Q)$ также дискретны.
Пункт 1.5: значение пункта 1 для продуктов из 2 волокон по сравнению с продуктами из 1 волокна
Претензия: если $R:D\to A$ является расслоенной категорией с дискретными слоями, а $P:B\to A,Q:C\to A$ - произвольные расслоенные категории, а $F:P\to R$, $G:Q\to R$ являются 1-морфизмами расслоенных категорий, то 1-слойное произведение $P\times_R^1 Q$ на самом деле продукт из 2 волокон $P\times_R^2 Q$.
Вот простое доказательство. Предположим, я даю вам 2-ходовой квадрат$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$ тогда потому что $R$имеет дискретные слои, единственный 2-морфизм, который может сделать этот квадрат коммутирующим, - это тождество, поэтому он фактически 1-коммутирует. Таким образом, возникает уникальный морфизм$T\to P\times_R^1 Q$. Единственность этого морфизма гарантирует единственность с точностью до изоморфизма, поэтому это делает$P\times_R^1 Q$ удовлетворяют универсальному свойству 2-волоконного произведения $P$ и $Q$ над $R$.
Или просто проверьте, что когда $R$ имеет дискретные слои, явное построение $P\times^2_R Q$ сводится к чему-то, изоморфному обычному построению $P\times^1_R Q$.
Пункт 2: Почему этот факт подразумевает заявленный результат?
Я собираюсь использовать $\int U$ для обозначения категории элементов / Конструкция Гротендика для $U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$, поскольку, по моему опыту, это более стандартное обозначение, по крайней мере, для предпучков, оцениваемых в наборах.
Мы хотим показать $$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$ где $U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$ является совокупностью предпучков категорий, и $W$ оценивается в дискретных категориях.
Мы знаем, что волокнистый продукт слева можно рассматривать как продукт с одним волокном, когда $W$ это предпучка в $\mathbf{Set}$. Тогда объекты слева - это кортежи$((a,u),(a,v))$ с участием $u\in U(a)$, $v\in V(a)$, так что $\phi(u)=\psi(v)$, и морфизмы из $((a,u),(a,v))$ к $((a',u'),(a',v'))$ слева кортежи $((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$, так что $\phi(\alpha)=\psi(\beta)$.
С другой стороны, объекты справа - это кортежи. $(a,(u,v))$ с участием $(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$, и морфизмы $(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$ справа пары $(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$.
Сравнивая данные, мы видим, что две стороны состоят из одних и тех же данных, и мы можем дать изоморфизм между двумя категориями.
Конец примечания
Когда $U$ и $V$ также являются предпучками, оцениваемыми в множествах, это становится еще проще, поскольку морфизмы слева теперь просто $f:a\to a'$ такой, что $u=f^*u'$, $v=f^*v'$, и морфизмы справа также $f:a\to a'$ такой, что $(u,v)=f^*(u',v')$.