Доказательство Атьи пространства модулей SD неприводимых YM-связностей
В статье «Самодуальность в четырехмерной римановой геометрии» (1978) Атья, Хитчин и Зингер представляют доказательство того, что пространство самодвойственных неприводимых связностей Янга-Миллса является хаусдорфовым многообразием, и если оно не является пустым задано, то размер определяется как $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Где $\chi(M)$ - эйлерова характеристика и $\tau(M)$ подпись.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Оказывается, исходная статья содержала ошибку / опечатку. На самом деле это должно быть$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Конец редактирования.
Хотя мне хотелось бы понять всю статью, я пока не в состоянии сделать это, я всего лишь пытаюсь понять вычисление этого измерения, потому что меня интересуют некоторые приложения Атья- Теорема Зингера об индексе.
Для вычисления этого измерения в статье используется следующее: Пусть$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ - оператор Дирака для спинорного расслоения со значениями в некотором вспомогательном расслоении $E$. По теореме об индексе$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ В четвертом измерении мы имеем $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(но где это используется?). Для доказательства возьмем$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. потом$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Все идет нормально. Я теряю счет в следующем вычислении:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Где $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Я пытался найти результат, который объясняет часть уравнения, окрашенную в красный цвет, потому что этот шаг кажется совершенно нетривиальным, и, несмотря на это, он вообще не рассматривается в статье, и я не могу найдите любые источники, объясняющие этот шаг. В индексе оператора Дирака и характере Черна для связки симметричного скручивания произведений принятый ответ, кажется, дает ответ, который в некоторой степени объясняет, как этот результат получен в очень частном случае. Однако у меня нет большого опыта в этой области, и я не знаю, как обобщить результат на произвольный принципал.$G$-пучок. Я ищу объяснение вышесказанного, может ли кто-то предоставить свой ответ или ссылку. Любой из них был бы очень признателен.
Ответы
Надеюсь, я хорошо это помню. Мой консультант объяснил мне это вычисление, я даже не хочу думать, сколько лет назад.
Деформационный комплекс уравнения СД равен $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$
$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$
Индексом этого оператора является размерность пространства модулей самодвойственных связностей. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Этот оператор получается скручиванием с $\Ad(P)$ Оператор
$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$
Это оператор $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ в упомянутой вами статье.
Теория индекса Атьи-Зингера показывает, что $\ind L$ является
$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$
где $[--]_4$ обозначает степень $4$ часть неоднородной дифференциальной формы.
Мы выводим
$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$
$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$
где степень $4$ из $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ - плотность индекса $D$ фигурирующая в теореме Атьи-Зингера об индексе $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$
Таким образом
$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$
Теперь выразите $(b_1-b_2^--b_0)$ с точки зрения подписи $\tau=b_2^+-b_2^-$ и эйлерова характеристика $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.