доказательство для $e\leq 3(v-2)$ [Почему $d(f) \geq 3$?]

Question

Вот хорошо известная теорема «Для плоского графа $G$, если $v\geq3$ тогда $e\leq 3(v-2)$"

Я просмотрел свою заметку по дискретной математике, и внезапно мне в голову пришел вопрос.

Когда мы доказываем $e\leq 3(v-2)$ для плоского графа, $G$. Мы использовали$d(f) \geq 3$.

В моей заметке я сказал, почему $d(f) \geq 3$ "каждая грань ограничена по крайней мере тремя ребрами, но каждое ребро граничит с двумя гранями".

Когда я впервые увидел это, мне было ясно. Но время шло, я в этом сомневаюсь.

Потому что ... Позвольте мне предложить встречный пример ниже.

Приведенный выше график является плоским и $v=3, e=2,f=1$. Но$d(f) \lt 3$ (Т.е. грань не ограничена тремя ребрами)

Я все еще не понимаю, в чем именно я ошибся.

Любая помощь будет оценена.

Answer 1

В этом ответе обсуждается ваш контрпример . Поскольку ребра являются границами одной и той же грани, в доказательстве «граница грани» имеет 4 ребра (каждое ребро считается дважды).