Доказательство функции $\pi$ от $U(q) \to U(q')$ быть на
Этот конкретный вопрос был задан в моей викторине по абстрактной алгебре, и я не мог его решить.
Позволять $q ,q' \in \mathbb{N} $ и разреши $q'\mid q$. Позволять$U(m)$ обозначим мультипликативную группу классов вычетов, взаимно простых с $m$. Позволять$\pi: U(q) \to U(q')$ быть таким, что если $a \in U(q)$, $\pi(a)$ уникальный элемент в $U(q')$ такой, что $a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$.
Затем покажите, что $\pi$ находится на.
Попытка - запуталась. Все, что я мог показать, это то, что$a$ не равно нулю, поскольку $a$ принадлежит $U(q)$ и $a \not \equiv 0 \pmod {q'}$ так как $\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$. Но очевидно, что этого недостаточно для доказательства.
Пожалуйста, дайте несколько подсказок. Отдых. Я бы хотел работать один.
Ответы
Подсказка: пусть $y\in\Bbb Z$ такой, что $\gcd(y,q')=1$. По китайской теореме об остатках существует$k\in\Bbb Z$ такой, что $y+kq'\equiv 1\pmod p$ для каждого простого делителя $p$ из $q$ который не разделяет $q'$.
Подробное доказательство: Пусть$P$ - множество простых делителей числа $q$ который не разделяет $q'$. По китайской теореме об остатках существует$k\in\Bbb Z$ такой, что $$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$ для каждого $p\in P$. Для каждого$p\in P$, от $p\nmid q'$ следует $q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$, следовательно $y+kq'\equiv 1\pmod p$.
Обратите внимание, что $\gcd(y+kq',q)=1$. Пусть$p$ быть простым делителем $\gcd(y+kq',q)$. потом$p|q$. Если$p|q'$, тогда $p|y$ что противоречит $\gcd(y,q')=1$. В противном случае, если$p\nmid q'$, тогда $p\in P$, следовательно $y+kq'\equiv 1\pmod p$ что противоречит $p|(y+kq')$.
Если $\bar x$ обозначим класс вычетов $y+kq'$ по модулю $q$ и $\bar y$ остаточный класс $y$ по модулю $q'$, тогда $\bar x\in U(q)$ и $\bar y=\pi(\bar x)$.
Мы рассматриваем три случая:
$𝑞′ = 𝑝^{\alpha},\, 𝑞=𝑝^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\,𝑝 \text{ prime}$
$q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$
$q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$
случай 1: Пусть $a\in\mathbb{Z}$: $$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$ у нас есть $\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$
случай 2: по китайской теореме об остатках: \begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}
так \begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*} каждый $\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$ сюръективно, так это $\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$.
- случай 3: Пусть $a\in\mathbb{Z}$ ул $a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$. Так$gcd(a,q_1) = 1$ Уравнение $$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$ допускает решения: \begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*} где $n_0, m_0$ являются частным решением уравнения.
мы хотим найти решение уравнения: $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$
первое уравнение эквивалентно $n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$ так \begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$ так что отображение \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}инъективен, поэтому он сюръективен; Существует$s_0\in\mathbb{Z}$ ул $gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$. Ставим$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$ По тому же аргументу отображение: \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*} сюръективно, поэтому уравнение $m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$ допускает решения $m_0^{\prime}, t_0$. Наконец, мы положили$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, поэтому мы нашли частное решение $s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$ к уравнению $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ мы положили $b = a -s_0 q_1$; у нас есть$b\in U(q_1q_2)$ и $\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; Итак, мы доказали$\pi$ сюръективно.
концептуально мы доказали, что три диаграммы коммутативны
где $cr_{\star}$ являются изоморфизмами, задаваемыми китайской теоремой об остатках, поэтому мы выводим сюръекцию желаемого гомоморфизма из сюръективности других