Доказательство существования решения для ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Question

Позволять $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ быть дважды дифференцируемым с $f'' > 0$, и разреши $u_- > u_+$быть действительными числами. Покажите, что решение существует$\varphi(x)$ к следующему дифференциальному уравнению: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ такой, что $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, и где $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.

---

Моя первоначальная попытка состоит в том, чтобы заметить, что этот DE может быть хорошо интегрирован со следующим: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Таким образом, вместо этого достаточно показать существование решения для этой ДУ, где мы можем выбрать $C$. Я попытался передать RHS в LHS, который дает:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ где $D \in \Bbb{R}$. Таким образом, если мы определим:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ и предполагая, что $g$ обратима, то $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ было бы решением $(2)$. Однако в этом подходе есть несколько проблем, которые нам необходимо решить:

1. Интеграл не будет иметь смысла, если $f(\varphi) - s\varphi + C$ исчезает в какой-то момент в $\Bbb{R}$. Поскольку мы свободны выбирать$C$, если мы сможем показать, что $f(\varphi) - s\varphi$ ограничена либо сверху, либо снизу, то такой выбор $C$будет существовать. Я подозреваю, что мы можем использовать выпуклость и определение$s$ чтобы доказать это, но мои попытки пока тщетны.
2. Если интеграл имеет смысл, другая проблема заключается в том, если $g$обратимо. Однако это не должно быть проблемой, поскольку FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ так что, если знаменатель не исчезает, $g'$ непрерывна и поэтому должна быть строго положительной или отрицательной, следовательно, $g$ строго монотонна, поэтому обратима.
3. Самая большая проблема здесь в том, что это определение не гарантирует требования $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Я пытался манипулировать интегралом, чтобы он соответствовал этому условию, но пока безуспешно.

Я также пробовал другие подходы, такие как использование итерации Пикарда, но поскольку эта проблема на самом деле не является IVP, они не увенчались успехом.

Любая помощь приветствуется.

Answer 1

Используя ограничения на $\pm\infty$, мы нашли $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$см. это упражнение в Evans PDE. Строгая выпуклость из$\varphi\mapsto \varphi'$ следует из строгой выпуклости $f''>0$ из $f$. Это свойство дает$\varphi' < 0$ для $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Следовательно,$\varphi$ - плавно убывающая функция, убывающая от $u_-$ к $u_+$. Для исследования устойчивости равновесия$\varphi = u_\pm$, вычисляем знак производной $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ в состоянии равновесия, которое отрицательно при $\varphi = u_+$ и положительный на $\varphi = u_-$за счет строгой выпуклости. Следовательно,$u_+$ это привлекательное равновесие и $u_-$это отталкивающее равновесие. Поскольку файл rhs. приведенного выше дифференциального уравнения неособо и не имеет дополнительных корней, любое ограниченное решение обязательно будет связывать оба значения$u_\pm$ через плавную убывающую функцию $\varphi$. Подынтегральное выражение в$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ сингулярна на границах $\varphi = u_\pm$. Сходимость этого несобственного интеграла следует из его асимптотики на границах.