Доказательство теоремы Тонелли для $n$ Факторы
Я пытаюсь доказать следующее расширение теоремы Тонелли:
Предложение. Позволять$(\Omega_j,\mathcal{A}_j,\mu_j)$ $j=1,\dots,n$ быть $\sigma$-пространства конечной меры. Позволять$f\to[0,\infty]$ быть $\mathcal{A}_1\otimes \dots\otimes\mathcal{A}_n$ измеримая функция на $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$. Тогда для каждой перестановки$j_1,\dots,j_n$ из $1,\dots,n$ у нас есть
$$\int f(\omega_1,\dots,\omega_n) \,d (\mu_1 \otimes \dots \otimes \mu_n)=\int \dots \int f(\omega_1,\dots,\omega_n)\,d\mu_{j_1}\dots d\mu_{j_n}$$
где каждый интеграл на th RHS измерим относительно произведения $\mathcal{A}_j$соответствующие координатам, в которых интегрирование еще не произошло. В моей книге говорится, что это простая индукция, но почему-то мое доказательство кажется сложным.
Я считаю, что достаточно рассмотреть случай перестановки тождества. Это потому, что мы имеем равенство
$$\int f(\omega_1,\dots,\omega_n) \,d (\mu_1 \otimes \dots \otimes \mu_n)=\int f(\omega_{1},\dots,\omega_{n}) \,d (\mu_{j_1} \otimes \dots \otimes \mu_{j_n})$$
см. здесь . Другими словами, не имеет значения, рассматриваем ли мы$f$ как функция на $\Omega_1\times\dots\times\Omega_n$ или на $\Omega_{j_1}\times\dots\times\Omega_{j_n}$.
Это правильно? Комментарии, кажется, указывают на то, что здесь есть несколько возможных подходов. Любой план доказательства приветствуется.
Ответы
Давайте запишем формулировку теоремы Тонелли, чтобы все было понятно.
Позволять $(X, \mathcal M, \mu)$ и $(Y, \mathcal N, \nu)$ быть $\sigma$-пространства конечной меры и $f: X \times Y \to [0,\infty]$ быть $\mathcal M \otimes \mathcal N$измеримый. Потом:$$\int f d(\mu \times \nu) = \int \left(\int f(x_1, x_2) d\nu(x_2)\right) d\mu(x_1) = \int \left(\int f(x_1, x_2) d\mu(x_1)\right) d\nu(x_2).$$
Хорошо, теперь мы можем записать доказательство вашего утверждения. Позволять$(X_j, \mathcal M_j, \mu_j)$ быть конечным набором $\sigma$-пространства конечной меры и пусть $f : \prod_{j=1}^n X_j \to [0,\infty]$ быть $\bigotimes_{j=1}^n \mathcal M_j$ измеримый.
Обратите внимание, что $\bigotimes_{j=1}^n \mathcal{M}_j = \mathcal M_1 \otimes \bigotimes_{j=2}^n \mathcal M_j$, который $\mu_1 \times \mu_2 \times \cdots \times \mu_n = \mu_1 \times (\mu_2 \times \cdots \times \mu_n)$, и это $(\prod_{j=2}^n X_j, \bigotimes_{j=2}^n \mathcal M_j, \mu_2 \times \cdots \mu_n)$ является $\sigma$-конечно (это прямо из доказательства произведения $\sigma$-пространства конечной меры $\sigma$-конечный и индукционный).
Таким образом, повторное применение первого применения приведенной выше теоремы Тонелли (т.е. индукции) дает следующее: $$\int f d(\mu_1 \times \cdots \times \mu_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n).$$
Теперь мы покажем индуктивно, что в условиях нашего предложения, что: $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)})\right) \cdots \right) d\mu_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)})$$ для любой перестановки $\sigma \in S_n$.
Это очевидно верно для $n=1$.
Предположим, это было показано для $n$, тогда выбирай $\sigma \in S_{n+1}$. Затем определите$\tau \in S_n$ индуктивно $\tau(1) = \sigma(1)$ если $\sigma(1) \ne n+1$ еще $\sigma(2)$ и $\tau(j+1) = \sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+1)$ если $\sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+1) \ne n+1$ еще $= \sigma(\sigma^{-1}(\tau(j))+2)$.
В результате $\tau$ устраивает $1,...,n$ в том же порядке, что и $\sigma$. Затем применяя индуктивную гипотезу с$\tau$ к внутреннему интегралу для каждого $x_{n+1}$: $$\int \left (\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_1(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_n(x_n) \right) d\mu_{n+1}(x_{n+1}) = \int \left(\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_{\tau(1)}(x_{\tau(1)})\right) \cdots \right) d\mu_{\tau(n)}(x_{\tau(n)})\right) d\mu_{n+1}(x_{n+1}).$$ Тогда, поскольку $\tau$ положить $1,...,n$ в том же порядке, что и $\sigma$, все что осталось получить $1,...,n+1$ в порядок, индуцированный $\sigma$ это вставить $d\mu_{n+1}(x_{n+1})$ в нужном месте, для чего достаточно показать, что два соседних $d\mu_i(x_i)$ и $d\mu_j(x_j)$ можно коммутировать (затем многократно коммутируя $d\mu_{n+1}(x_{n+1})$ слева, пока он не окажется в нужном месте, завершает доказательство).
Мы сейчас этим и займемся. Требовать:$$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \bigg) d\mu_j \cdots \right) d\mu_b(x_n) = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \bigg) d\mu_i \cdots \right) d\mu_b(x_n).$$
Но это всего лишь прямое применение теоремы Тонелли, поскольку достаточно показать, что: $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \right) d\mu_j = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \right) d\mu_i,$$ и у нас есть: $$\int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_i \right) d\mu_j = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \right) d\mu_j \times \mu_i = \int \left(\cdots \left(\int f(x_1,...,x_n) d\mu_a(x_1)\right) \cdots \bigg) d\mu_j \right) d\mu_i.$$
Собирая все вместе, мы завершаем доказательство.
Примечание: в качестве альтернативы вместо всего этого $\tau$ материала, мы можем использовать последнее утверждение, чтобы показать, что набор перестановок мер является подгруппой, содержащей последовательные перестановки: $(i, i+1)$ а затем доказать, что $(i, i+1)$ генерирует $S_n$, что эффективно то, что я сделал в "$\tau$-section ", хотя это может немного сбивать с толку.