Доказательство того, что если разность членов двух сходящихся последовательностей равна нулю, то предел последовательностей равен

Question

Предложение: Учитывая, что реальные последовательности $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ сходятся, и что $\{a_n - b_n \}$ - нулевая последовательность, тогда $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

Это была моя попытка:

Обозначить $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ и $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Предположим$m \neq n$. Предположим$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. По сходимости$\{a_n\}$ и $\{b_n\}$, и используя указанное значение epsilon для достаточно больших $n$ у нас есть это $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, и $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Из этого мы имеем

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Но по плотности $\mathbb{R}$, есть некоторые $r \in \mathbb{R}$ такой, что $a_n - b_n > r$ для достаточно большого $n$. Но это противоречит тому, что$\{a_n - b_n\}$ является нулевой последовательностью, поэтому $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Мне интересно узнать, есть ли доказательство (и, надеюсь, также подтверждение того, что мое верное!), Которое не полагается на вывод противоречия из предположения $l \neq m$. Это неприятно кажется одним из тех «очевидных» утверждений, которые, когда я пишу в логике первого порядка, мне трудно доказать. В частности, я не мог найти способ сделать это напрямую.

Answer 1

Доказательство от противного действительно является здесь наиболее естественным подходом. Интуиция проста: если последовательности имеют разные пределы, они в конечном итоге должны быть близки к этим пределам и, следовательно, не могут быть близкими друг к другу.

Однако это можно сделать немного проще. Позволять$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Существует$n_0\in\Bbb N$ такой, что $|a_n-\ell|<\epsilon$ и $|b_n-m|<\epsilon$ всякий раз, когда $n\ge n_0$. Но потом

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

для всех $n\ge n_0$, так

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

для всех $n\ge n_0$, что противоречит предположению, что $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ является пустой последовательностью.

У вашего аргумента есть некоторые проблемы. Во-первых, вы, кажется, предполагаете, что$\ell>m$; если вы сделаете это предположение, нет никакой реальной потери общности, но вам, по крайней мере, нужно сказать, что вы делаете это. Вы также, очевидно, в конце предполагаете, что$a_n-b_n$положительно, чего не должно быть. Наконец, что наиболее важно, вы на самом деле не дали никакого оправдания утверждению, что существует реальная$r$ такой, что $a_n-b_n>r$ для достаточно большого $n$: это действительно так для $|a_n-b_n|$ и некоторые положительные $r$, но это не имеет ничего общего с плотностью $\Bbb R$.