Докажите, что для независимых случайных величин $X_i$, у нас есть $f_i(X_i)$ независимы.
Я видел много сообщений, в которых описывается случай только двух случайных величин.
Независимые случайные величины и их функции
Независимы ли также функции независимых переменных?
Если $X$ и $Y$ независимы тогда $f(X)$ и $g(Y)$ также независимы.
Если $X$ и $Y$независимы. Как насчет$X^2$ и $Y$? А как насчет$f(X)$ и $g(Y)$?
Независимы ли квадраты независимых случайных величин?
Докажи, что если $X$ и $Y$ независимы, то $h(X)$ и $g(Y)$независимы в вероятности BASIC - можем ли мы использовать двойное интегрирование? (о, я действительно спросил здесь элементарный случай с двумя переменными, но ответа нет)
Мне еще предстоит увидеть сообщение, в котором описывается как минимум 3 случая .
Пожалуйста, ответьте в 2-х ситуациях
1 - для продвинутой теории вероятностей:
Позволять $X_i: \Omega \to \mathbb R$ быть независимыми случайными величинами в $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$. Позволять$i \in I$для любого набора индексов, который я думаю (или, возможно, должен быть счетным). Конечно, предположим$card(I) \ge 3$. Тогда покажи$f_i(X_i)$независимы. Дайте условия на$f_i$ такой, что $f_i(X_i)$независим. Я читал в сообщениях выше, что состояние «измеримо», что, я думаю, означает$\mathscr F$- измеримы, но я мог бы поклясться, что читал раньше, что условие должно быть `` ограниченным и измеримым по Борелю '', как в bounded and $\mathscr B(\mathbb R)$-измеримый для $(\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R), Lebesgue)$
2 - для элементарной теории вероятностей
Позволять $X_i: \Omega \to \mathbb R$быть независимыми случайными величинами, у которых есть файлы PDF. Используйте элементарное определение вероятности независимости, которое является «независимым, если объединенный PDF-файл разделяется» или что-то в этом роде. Я думаю, что индекс установлен$I$не обязательно должен быть конечным, и в этом случае я думаю, что определение состоит в том, что совместный PDF-файл любого конечного подмножества является независимым . Дайте условия на$f_i$ такой, что $f_i(X_i)$независим. Конечно мы не можем точно сказать это$f_i$ «измеримо».
Контекст для элементарного случая: я пытаюсь обосновать вычисление формулы для функции создания момента для линейной комбинации независимых случайных величин . См. Здесь: Доказательство неравенства вероятности для получения верхней оценки для функций, производящих момент
Основываясь на применении интеграла Римана – Стилтьеса (или интеграла Лебега – Стилтьеса) к вероятности , я думаю, что условие является любым$f_i$ такой, что $E[f_i(X_i)]$ существует (т.е. $E[|f_i(X_i)|]$ конечно).
Это то же самое условие у Ларсена и Маркса - Введение в математическую статистику и ее приложения .
Я думаю $f$ bounded означает это, но не наоборот.
Обновление : также связано с другим вопросом, если$g$ является непрерывной и возрастающей функцией $x$, докажи это $g(X)$случайная величина. -> В общем для каких функций$g$ является $g(X)$это случайная величина? Конечно, с большой вероятностью просто скажи$g$ измеримо по Борелю или $\mathscr F$-измеримо или что-то еще, но я думаю, что с элементарной вероятностью мы говорим $g$ такой, что $E[g(X)]$ существует т.е. $E[|g(X)|] < \infty$, ДАЖЕ ХОТЯ это, я считаю, более сильное состояние, чем это $g$«измеримо», что бы это ни значило в элементарной вероятности. Но опять же, это немного странно, поскольку мы даже не обязательно ожидаем$E[X]$ существовать (т.е. $E[|X|] < \infty$) или любой более высокий момент $E[X^n]$ Я думаю.
Ответы
Для $i\in I$ позволять $\sigma\left(X_{i}\right)\subseteq\mathscr{F}$ обозначить $\sigma$-алгебра, порожденная случайной величиной $X_{i}:\Omega\to\mathbb{R}$.
Тогда на самом деле у нас есть $\sigma\left(X_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\left\{ X_{i}^{-1}\left(B\right)\mid B\in\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $.
Коллекция $(X_i)_{i\in I}$ случайных величин независим, если и только если:
Для каждого конечного $J\subseteq I$ и каждая коллекция $\left\{ A_{i}\mid i\in J\right\} $ удовлетворение $\forall i\in J\left[A_{i}\in\sigma\left(X_{i}\right)\right]$ у нас есть:
$$P\left(\bigcap_{i\in J}A_{i}\right)=\prod_{i\in J}P\left(A_{i}\right)\tag {1}$$
Сейчас если $f_{i}:\mathbb{R}\to Y_{i}$ для $i\in I$ где $\left(Y_{i},\mathcal{A}_{i}\right)$ обозначает измеримое пространство и где каждый $f_{i}$ измерима по Борелю в том смысле, что $f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\subseteq\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)$ тогда для проверки независимости мы должны посмотреть на $\sigma$-алгебры $\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
Но очевидно: $$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)=\left(f_{i}\circ X_{i}\right)^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\right)\subseteq X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\sigma\left(X_{i}\right)$$ Так что если $\left(1.A\right)$ удовлетворен за $\sigma\left(X_{i}\right)$то автоматически удовлетворяется для меньшего$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
2)
Концепция независимости случайных величин влияет на PDF и расчет моментов, но ее определение полностью от нее не зависит . Основываясь, например, на разделении PDF-файлов, можно сделать вывод, что существует независимость, но подобные вещи не должны повышаться до статуса «определения независимости». В подобных ситуациях мы можем в лучшем случае сказать, что это достаточное (не необходимое) условие независимости. Если мы зададимся вопросом: «что нужно для$f_i(X_i)$ быть независимыми? », то мы должны сосредоточиться на определении независимости (не достаточных условиях). Поступая таким образом, мы обнаруживаем, что измеримость $f_i$ достаточно, когда $X_i$ независимы уже.
Редактирование BCLC: (позвольте дрхабу отредактировать эту часть дальше): в элементарной вероятности нет «измеримого», поэтому мы просто говорим «подходит» или «хорошо себя ведет» в том, что с какими бы функциями ни столкнулись изучающие элементарную вероятность, мы надеемся, что они подходят. Возможно, в некоторых учебниках будут использоваться более слабые условия, чем «измеримые», которые будут использоваться в качестве определения независимости для этой книги.
Изменить : функции, которые невозможно измерить (или не подходят, если хотите), в обычном контексте очень редки. Аксиома выбора необходима для доказательства существования таких функций. В этом смысле можно сказать, что конструируемые функции (функция произвольного выбора не требуется) подходят.
теоретико-меры :
Теоретико-мерный ответ чрезвычайно общий. Для этого не требуется ничего особенного в отношении реальной линии или множеств Бореля, только чистая измеримость. Предположим$(X)_{i \in I}$ - семейство случайных элементов (счетное не требуется), где $X_i: (\Omega, \mathscr{F}) \to (A_i, \mathscr{A}_i)$, т.е. каждый $X_i$ принимает значения в некотором пространстве $A_i$ и $X_i$ измеримо, но все $X_i$ жить в одном пространстве ввода $\Omega$. Никаких предположений о пробелах не делается.$\Omega, A_i$ или $\sigma$-алгебры $\mathscr{F}, \mathscr{A}_i$.
Пусть соответствующее семейство функций $(f_i)_{i \in I}$ быть дано так, чтобы для каждого $i$, $f_i: (A_i, \mathscr{A}_i) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$измеримо. То есть каждый$f_i$ принимает данные от $A_i$ (содомен $X_i$) и принимает значения в некотором пространстве $B_i$ такой, что $f_i$измеримо. (Это гарантирует, что для каждого$i$, $f_i(X_i): (\Omega, \mathscr{F}) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$ имеет смысл и измерим.) Опять же, никаких предположений относительно пространств не делается. $B_i$ или $\sigma$-алгебры $\mathscr{B}_i$.
Теперь предположим $(X_i)_i$ является независимым семейством при некоторой вероятностной мере $P$ на $(\Omega, \mathscr{F})$, т.е. что для любого конечного подмножества $J \subseteq I$ индексов и любых измеримых подмножеств $U_i \in \mathscr{A}_i$ надо $$P(X_i \in U_i \text{ for all } i \in J) = \prod_{i \in J} P(X_i \in U_i).$$
Затем мы утверждаем, что $(f_i(X_i))_{i \in I}$ также независимая семья под $P$. Действительно, пусть$J \subseteq I$ - некоторое конечное подмножество индексов, и пусть измеримые подмножества $V_i \in \mathscr{B}_i$быть данным. Для каждого$i \in J$, измеримостью $f_i$ и $V_i$, есть это $f_i^{-1}(V_i) \in \mathscr{A}_i$ и поэтому $$ P(f_i(X_i) \in V_i \text{ for all } i \in J) = P(X_i \in f^{-1}_i(V_i) \text{ for all } i \in J) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(X_i \in f^{-1}_i(V_i)) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(f_i(X_i) \in V_i). $$ Таким образом, $f_i(X_i))_{i \in I}$ это независимая семья.
элементарная вероятность :
Что касается элементарного вероятностного решения, оно действительно зависит от вашего определения независимости. Во всех случаях определение включает только конечные подмножества случайных величин. Я бы сказал, что без определения$\sigma$-алгебра, доказательство будет недоступно, если вы не сделаете дополнительных (ненужных) предположений. Если ваше определение таково, что плотности разделяются как продукт, тогда вы должны принять некоторые условия, чтобы гарантировать, что$f_i(X_i)$имеет плотность, и вы можете применить обычные правила преобразования плотности. Если ваши функции принимают значения в счетном пространстве, приведенное выше доказательство можно повторить практически дословно, заменив произвольные$U_i, V_i$ с одиночками, т.е. посмотрите на $P(f_i(X_i) = y_i, \forall i)$.
В качестве альтернативы, поскольку вы избегаете теоретико-мерного ответа на вопрос, само определение которого является теоретико-мерным, возможно, правильность аргумента не является требованием? Просто скажите своим ученикам, что условие независимости должно выполняться для «всех множеств (вербальная звездочка)», а затем приведите приведенное выше доказательство, не упоминая измеримость. Или, если вашим ученикам, возможно, удобнее топология, вы можете использовать только непрерывные функции и смотреть на прообразы открытых множеств.