Докажите, что периметр треугольника $MNC$ равен половине периметра треугольника $ABC$
В $ABC$ равносторонний треугольник. $K$ это середина $AB$. $M$ и $N$ лежат на $AC$ и $BC$соответственно. Если$\angle MKN=60°$, затем докажите, что периметр $\triangle MNC$ равен половине периметра $\triangle ABC$.
Ответы
Зеркало $N$ относительно $CK$, будь как будет $N'$. Мы замечаем, что$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Следовательно$MKNN'$коцикличны. Следовательно$\triangle MKN$зеркальное отображение по отношению к $CK$ имеет тот же описанный круг с $\triangle MKN$. Поэтому центр$\triangle MKN$описанная окружность лежит на $CK$.
Теперь нарисуйте биссектрисы угла $\angle CMN, \angle CNM$ и позвольте им встретиться в $I$. Очевидно$I$ лежит на третьей биссектрисе $CK$. поскольку$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$коцикличны. Кроме того, в сочетании с результатом из предыдущего абзаца мы знаем, что$IK$диаметр этого круга. Следовательно$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.
Следовательно $MK$ делит пополам внешний угол $\angle AMN$ и $NK$ делит пополам внешний угол $\angle BNM$.
Теперь посмотрим на правую картинку. Нарисуйте окружность, касательную к$AM,MN,NB$ и пусть его центр будет $O$. Мы заметим, что$MO$ разделит угол пополам $AMN$ и $NO$ разделит угол пополам $BNM$ так $O$ и $K$ по сути то же самое.
Теперь легко увидеть периметр $\triangle CMN$ такой же как $CP+CQ$, что составляет половину периметра $\triangle ABC$. (Потому как$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ и так делает $BQ$)
Думаю, ребята, я решил проблему!
Возьмем точку $P$ на стороне $BC$ где $\angle NKP=60°$. Тогда возьмите точку$T$ на линии ПК, где $PK=KT$. Треугольники$BKP$ и $ATK$конгруэнтны. Так$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Заметить, что$AMKT$описанная окружность. Так$\angle TAK=\angle TMK$. Таким образом$TMK$ - равносторонний треугольник.
Теперь мы можем быть уверены, что треугольники $MKN$ и $NKP$конгруэнтны. Так$MN=NK$. По теореме Птолемея получаем, что$AM+AT=AK$. Также не забывайте, что$BP=AT$.
$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.