Докажите, что следующая функция интегрируема по Риману

Aug 19 2020

Позволять $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$определяться \ begin {уравнением *} f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {for} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {иначе} \ end {cases} \ end {формула *} Докажите, что$f$ интегрируема по Риману.

Я знаю, что это подтверждается тем фактом, что эта функция $f$ прерывается только в счетном множестве точек $\frac{1}{n}$, так что это интегрируемый по Риману.

Я хочу увидеть процедуру поиска $L(P,f)$ и $U(P,f)$ где $P$ захвачен ли какой-либо раздел $[0,1]$. Я не могу доказать, что это интегрируемый по Риману, используя эту процедуру. Кто-нибудь может мне помочь? Заранее спасибо.

Ответы

2 RRL Aug 19 2020 at 00:53

Легко показать, что $L(P,f) = 0$ для любого раздела.

Взять $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (где $n$ большой) и раздел, включающий подынтервалы

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ и показать, что $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Для любой $\epsilon > 0$ мы можем выбрать $n$ такой, что $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ и критерий Римана выполняется.