Доказывая, что $(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$ для прайма $q$ лежа на $p$

Aug 17 2020

Позволять $f : A \to B$- морфизм коммутативных колец с единицей. Таким образом, мы можем рассматривать$B$-модули как $A$-модули через эту карту, и $A$-модули как $B$-модули через тензор с помощью $- \otimes_A B$.

Не позволять $M$ и $N$ быть $A$- и $B$-модули соответственно. Учитывая простое$q$ из $B$ и лежал над простым $p$ в $A$, мы знаем это $f$ спускается на карту между соответствующими локализациями, и поэтому соответствие, подобное приведенному выше, сохраняется для их соответствующих модулей.

Я хочу показать это $$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$ так как $B_q$-модули.

Мои рассуждения таковы: поскольку

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

и $N_q$ это $B_q$-модуль, это $A_p$-модуль, следовательно $N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$ и поэтому

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

Звучит нормально, но я использую «ассоциативность тензорного произведения по отношению к различным кольцам», не особо об этом заботясь.

Мы будем очень благодарны за проверку работоспособности и / или ссылку.

Ответы

1 Stahl Aug 17 2020 at 10:46

Ваш аргумент работает! Вы просто применили тот факт, что если$f : A\to B$ - кольцевой морфизм, $M$ это право $A$-модуль, $N$ это $(A,B)$-бимодуль и $L$ левый $B$-модуль, затем $(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(см. здесь ). Назовем этот факт$(*).$ Как известно, если $M$ является $R$-модуль и $S\subseteq R$ является мультипликативным множеством, то $S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$ назовите этот факт $(**).$ Тогда ваш аргумент - это следующее вычисление: \begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}