Доказывая, что $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ не изоморфен как кольцо $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$.

Question

Как мне доказать это $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ и $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$не изоморфны как кольца? Легко показать, что они не изоморфны при$\mathbb{R}$-алгебры; но произвольный гомоморфизм колец мог послать элемент$\mathbb{R}^*$на какой-то другой обратимый элемент. Обычные свойства не различают два кольца (приведенность, размерность, нормальность и т. Д.).

Answer 1

$R_1=\Bbb R[x,y]/(x^2,y^2)$ четырехмерный с $\Bbb R$-основа $1$, $x$, $y$, $xy$.

$R_2=\Bbb R[x,y]/(xy,x^2-y^2)$ четырехмерный с $\Bbb R$-основа $1$, $x$, $y$, $x^2$.

Оба являются локальными кольцами: максимальный идеал $R_1$ является $M_1=(x,y)$ и максимальный идеал $R_2$ является $M_2=(x,y)$. Гомоморфизм$\phi:R_1\to R_2$ должен взять $M_1$ к $M_2$. Следовательно$\phi(x)=ax+by+cx^2$ где $a$, $b$, $c\in\Bbb R$. Так как$x^2=0$ в $R_1$ тогда $(ax+by+cx^2)^2=0$ в $R_2$. Но$$(ax+by+cx^2)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(a^2+b^2)x^2$$ в $R_2$ и так $a^2+b^2=0$, это $a=b=0$, и так $\phi(x)=cx^2$. Точно так же$\phi(y)=dy^2$ где $d\in \Bbb R$. Некоторые нетривиальные$\Bbb R$-линейное сочетание $x$ и $y$ должен быть обнулен $\phi$. Следовательно$\phi$ не может быть изоморфизмом.