Дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению
Вопрос в том :
Позволять $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая
$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $ где $g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$
Что из следующего \ верно?
$(1)$ Если $f(0)=f'(0)=1$ , тогда $f(3)\lt 3$
$(2)$ Если $f(0)=f'(0)=2$ , тогда $f(4)\lt 4$
$(3)$ Если $f(0)=f'(0)=3$ , тогда $f(3)=5$
$(4)$ Если $f(0)=f'(0)=3$ , тогда $f(3)=6$
Мои мысли:-
Я сначала расскажу о $(3)$ и $(4)$
Позволять $g(x)=0$
Затем с помощью некоторых вычислений мы можем показать
$f(x)=3(\sin x+\cos x)$ как подходящий кандидат, чтобы отбросить $(3)$ и $(4)$
Здесь для варианта $(3)$
$f(3)=5$
$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$
На квадрате с обеих сторон
$1+\sin 6=\frac{25}9$
$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, противоречие
так же $f(3)= 6$ даст противоречие
$\sin 3+\cos 3=2$ (подразумевая $\sin 3=\cos 3=1$ что невозможно).
Таким образом, мы остались с $(1)$ и $(2)$
Примечание. Небольшой вариант приведенного выше примера удовлетворяет условию в $(1)$ и $(2)$
Я пробовал с простыми примерами вроде $g(x)=1 $ и $f(x)=x$ или любите квадратики, но не могли сделать выводы.
Пожалуйста, помогите с вариантами $(1)$ и $(2)$. Спасибо за ваше время.
Ответы
Рассмотрим функцию энергии $E=f(x)^2+f'(x)^2$. потом$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$ так что $E$падает по решениям. Насколько я понимаю, это означает, что 1) и 2) верны.
В 1) $f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$ и аналогично в 2) $f(x)\le\sqrt8<4$. Таким же образом попадаете в 3) и 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, так что указанные значения никогда не будут достигнуты.