Единственность конечных полей с $p^n$элементы. [дубликат]

Question

Хорошо известно, что существует только одно конечное поле с $p^n$ элементов, с точностью до изоморфизма, где $p$ это простое и $n \geq 1$.

Позволять $n = m t$, где $m, t > 1$.

потом $F = Z_p[X]/(f(X))$ это поле с $p^n$ элементы, предоставленные $f$ - некоторый неприводимый многочлен степени $n$ в $Z_p$.

К тому же $G = Z_p[X]/(g(X))$ это поле с $m$ элементы ($g$ несводимый по степени $m$). потом$G$ имеет $p^m$ элементы.

Наконец позвольте: $H = G[X]/(h(X))$ где $h$ является неприводимым многочленом степени $t$ с коэффициентами в $G$.

Теперь в моем понимании $F$ и $H$ есть оба $p^n$элементы. Итак, мой вопрос:

Находятся $F$ и $H$ изоморфный?

Answer 1

Это основано на общем факте о разделении полей.

Позволять $F$ быть полем и $f(X)\in F[X]$- монический многочлен. Поле расширения$K$ из $F$является полем расщепления для$f$ если

1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ в $K[X]$ (корни не обязательно должны быть четкими);
2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Теорема. Если$K_1$ и $K_2$ разделяют поля $f(X)\in F[X]$, то существует изоморфизм полей $\varphi\colon K_1\to K_2$ уходящий $F$ точечно фиксированный.

Доказательство довольно длинное, и его можно найти в любой книге по теории Галуа, потому что это ее основной инструмент.

Теперь рассмотрим многочлен $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, где $\mathbb{F}_p$ это $p$-элементное поле (единственное с точностью до единственного изоморфизма).

Позволять $K$ быть полем расщепления $f(X)$. потом$f(X)$ имеет $p^n$ отдельные корни в $K$ (поскольку производная полинома равна $-1$). С другой стороны, множество корней$f(X)$ является подполем $K$: действительно, если $a,b$ корни, то $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ так $a+b$ это корень $f$. Аналогично$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$и проверить обратное несложно. Поскольку также$0$ и $1$ корни, мы закончили.

Таким образом $K$ это набор всех корней$f$ и поэтому $|K|=p^n$.

Наоборот, если $K$ это поле с $p^n$ элементов, то тот же аргумент, что и раньше, показывает, что $X^{p^n}-X$ имеет $p^n$ отдельные корни в $K$, так $K$ является полем расщепления для $f(X)$.

Единственность с точностью до изоморфизма теперь следует из теоремы выше.