$\ell^1$ функтор как сопряженный слева к функтору единичного шара
В комментарии к этому ответу
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Йемон Чой отмечает, что "The $\ell^1$ функтор - это функтор свободного банахова пространства, сопряженный слева к функтору забывчивого единичного шара ».
Это утверждение меня заинтриговало, но я не совсем уверен, о каких категориях и функторах здесь говорит Йемон. Я полагаю, что с одной стороны у нас есть категория банаховых пространств (с какими картами?), Но как насчет другой? Если кто-нибудь сможет заполнить здесь подробности, я был бы очень рад. Кроме того, если у кого-то есть ссылки на текст функционального анализа, который принимает эту точку зрения, я был бы рад и этому ответу.
Ответы
Вы хотите попасть в категорию $\text{Ban}_1$банаховых пространств и коротких отображений (линейных отображений операторной нормы$\le 1$). Функтор единичного шара$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ представлен $\mathbb{C}$, а его левый сопряженный посылает множество $S$ к совместному продукту $S$ копии $\mathbb{C}$, который оказывается $\ell^1(S)$. Это говорит о том, что у нас есть естественная биекция
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
который говорит, что карта из набора $S$ к единичному мячу $U(B)$ банахова пространства однозначно и свободно распространяется на короткую карту $\ell^1(S) \to B$, по «линейности».
Интуитивно говоря, это говорит о том, что $\ell^1(S)$ получается из $S$ требуя, чтобы каждый элемент $S$ иметь норму $1$ (так что он находится в единичном шаре и может вскоре отобразиться на любой другой элемент любого другого единичного шара), а затем запросить линейную комбинацию $\sum c_s s$иметь максимально возможную норму, совместимую с этим (так, чтобы он мог вскоре отобразиться на любую другую такую линейную комбинацию в любом другом банаховом пространстве). У нас есть$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ неравенством треугольника и $\ell^1$ норма является случаем равенства этого.
Эта конструкция обобщается на конструкцию копроизведения в $\text{Ban}_1$, который выглядит так: если $B_i$ представляет собой набор банаховых пространств, их копроизведение в $\text{Ban}_1$ является пополнением прямой суммы векторного пространства $\bigoplus_i B_i$ с уважением к "$\ell^1$ норма" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Приношу свои извинения за саморекламу, но я немного подробнее остановлюсь на категориальных свойствах $\text{Ban}_1$(например, он является полным, кополным и замкнутым симметричным моноидальным) в моем сообщении в блоге о банаховых пространствах (и метриках Ловера, и закрытых категориях) . В частности, я пытаюсь мотивировать использование коротких карт. Обратите внимание, что если мы работаем только с ограниченными линейными отображениями, то мы не можем надеяться восстановить банахово пространство с точностью до изометрии с помощью универсального свойства, тогда как изоморфизмы в$\text{Ban}_1$изометричны. С другой стороны, категориальный язык все еще способен говорить об ограниченных отображениях через замкнутую структуру.
Обозначим через Bang (Ban, геометрический) категорию, объектами которой являются банаховы пространства, а морфизмами - линейные отображения, имеющие норму $\leq 1$. (Мы можем работать как с вещественными, так и с комплексными скалярами.) Пусть Set будет категорией, объекты которой являются множествами, а морфизмы - функциями.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Есть функтор $\Ball$от Bang до Set, который присваивает каждому банаховому пространству его замкнутый единичный шар; условие на морфизмы Банга гарантирует, что каждый$f:X\to Y$ в Bang ограничивается функцией $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
Что бы левое примыкало к $\Ball$выглядит как? Мы можем использовать описание / характеристику в терминах начальных объектов в категориях, запятых. Итак, для каждого набора$S$ мы хотим банахово пространство $F(S)$ и функция $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ со следующим универсальным свойством: всякий раз, когда $E$ является банаховым пространством и $h:S\to \Ball(E)$ является функцией, существует уникальный морфизм взрыва $T: F(S)\to \Ball(E)$ такой, что $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ как функции.
Разбирая определения различных морфизмов: нам нужно, чтобы для любой функции $h$ из $S$ к $E$ удовлетворение $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ для всех $j\in S$, должна быть уникальная линейная карта $T: F(S) \to E$ такой, что $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ для всех $v\in F(S)$ а также $T(\eta_S(j))=h(j)$ для всех $j\in S$.
Попробовав мотивировать вещи, сделаем анзац . Определять$F(S)$ быть банаховым пространством $\ell_1(S)$ со своей обычной нормой $\Vert\quad\Vert_1$; позволять$(e_j)_{j\in S}$ обозначим канонические базисные бекторы в $\ell_1(S)$. Единственный возможный кандидат на линейную карту$T:\ell_1(S) \to E$ это: определить $T(e_j):= h(j)$ для каждого $j$, и продолжаются по линейности и непрерывности. Чтобы убедиться, что это работает, обратите внимание на то, что для любого$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ у нас есть
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Подводя итог: по сути, приведенный выше аргумент говорит о том, что ограниченная линейная карта из $\ell_1(S)$ в банахово пространство $E$ определяет ограниченную функцию $S\to E$, и, наоборот, всякая ограниченная функция $S\to E$ имеет единственное ограниченно-линейное расширение $\ell_1(S)\to E$. (Обратите внимание, что этот абзац, который сформулирован на языке аналитика, а не категориста, является немного более общим, потому что я не требую, чтобы у всего была норма.$\leq 1$; но ограничение Бангом кажется необходимым, если кто-то хочет получить красивое изложение этого факта анализа на языке дополнений.)
На самом деле мы можем пойти дальше и сказать, что изоморфизм присоединения $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, который априори представляет собой естественную биекцию множеств, может быть обогащен до изоморфизма в Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Это упражнение 20 , на странице 167 в Лекции и упражнения по функциональному анализу с помощью Хелемский .
Более обширное обсуждение проведено Иржи Росицки в книге «Монадичны ли банаховы пространства? , arXiv: 2011.07543 .