Если $A$ нетерово, то каждый дробный идеал имеет вид $x^{-1} \frak{a}$ для некоторого идеала $\frak{a}$ из $A$
[Заявление] Если $A$ нетерово, то каждый дробный идеал имеет вид $x^{-1} \frak{a}$ для некоторого идеала $\frak{a}$ из $A$, $x \in A$.
[Попытка]
Я нахожу это в Коммутативной алгебре Атьи Макдональда, глава 9, стр. 96, Дробные идеалы.
Говорят, если $A$ нетерово, то каждый дробный идеал имеет вид $x^{-1} \frak{a}$ для некоторого идеала $\frak{a}$ из $A$, $x \in A$ так что каждый дробный идеал конечно порожден.
Это нормально, «так что любой дробный идеал конечно порожден», потому что $A$ так ли идеален Нётериан? $\frak{a}$ конечно порожден.
Однако как показать приведенное выше утверждение?
Позволять $M$быть дробно-идеальным. Тогда по определению существует$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ такой, что $\frac{a}{b} M \subseteq A $, так $M \subseteq \frac{b}{a}A$.
Что дальше?
Ответы
Позволять $\{m_i\}_{i\in I}$ генерировать $M$ как $A$-модуль. Тогда как$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ это следует из того $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Таким образом, для каждого $i,$ мы можем написать $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ с участием $b_i\in A.$ Это означает, что \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Но сейчас $\sum_{i\in I}b_i A$ просто идеал $A$ генерируется $b_i,$ Итак, мы закончили.