Если $f$ имеет полюс порядка $m$ в $z_0$, тогда $\frac{1}{f}$ имеет устранимую особенность при $z_0$.

Question

В моем учебнике сказано, что

• Если $f$ имеет полюс порядка $m$ в $z_0$, тогда $\frac{1}{f}$ имеет устранимую особенность при $z_0$, и если мы определим $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$, тогда $\frac{1}{f}$ имеет ноль порядка $m$ в $z_0$.

Но я так думаю, поскольку $f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$ где $g(z)$ аналитична и отлична от нуля в $z_0$, $\frac{1}{f}$, что равно $\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$, безусловно, аналитична в $z_0$ и имеет ноль порядка $m$ в $z_0$. Если он аналитический на$z_0$, тогда $z_0$ не может быть точкой особенности.

Почему в моем учебнике сказано $z_0$ является устранимой особенностью и определим $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$?

Answer 1

Ваша функция $\frac{1}{f}$ определяется только в окрестности $z_0$ что исключает $z_0$так что вы должны действительно определить это. По факту,$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$ делает $\textbf{not}$ иметь смысл в $z_0$.

Answer 2

Отметим, что $z_0$ не входит в сферу $\frac{1}{f}$ поскольку $f(z)$не определено априори в$z_0$. Эту ситуацию можно исправить, определив $\frac{1}{f}(z_0)$ способом, совместимым с непрерывностью, а именно:

Мы определяем

$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$

потому что

$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$