Если $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ непрерывны и сходятся к $f$ точечно, должен $f$быть интегрируемым по Риману? [дубликат]

Question

Я пытаюсь решить следующий вопрос

Правда или ложь? Если$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ - последовательность непрерывных функций, сходящаяся к $f$ точечно, то $f$ интегрируема по Риману и $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

С помощью комментариев я нашел этот контрпример, но я надеюсь, что есть более простой.

Если мы заменим интегралы Римана на интегралы Лебега, то результат будет истинным по теореме о доминирующей сходимости. Отсюда следует, что если$f$ интегрируема по Риману, то действительно $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Итак, ища контрпример, мы должны попытаться найти такой, где $f$ не интегрируема по Риману.

Большое спасибо за любую помощь.

Answer 1

Классический контрпример: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Позволять$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (который существует, потому что это предел положительной убывающей последовательности), то либо существует $n_0$ такой, что $f_{n_0}$ не интегрируема по Риману, что является контрпримером, поскольку $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ интегрируем по Риману для всех $m$, либо $f_n$ все интегрируемы по Риману, но поскольку $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ не интегрируется по Риману и $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, то это контрпример.