Если $f$ непрерывно, то $f$ равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда $|f|$ равномерно непрерывный
Если $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ непрерывно, то $f$ равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда $|f|$ равномерно непрерывно.
Карта $f$ из метрического пространства $M=(M,d)$ в метрическое пространство $N=(N,\rho)$ называется равномерно непрерывным, если для каждого $\epsilon>0$, существует $\delta>0$ такой, что $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ всякий раз, когда $x,y \in M$ удовлетворить $d(x,y)<\delta$.
Очевидно, что если $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ равномерно непрерывно, то $|f|$ равномерно непрерывна при $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$но у меня возникли проблемы с отображением обратной части. В районе, где$f$ всегда положительный или отрицательный, у нас не будет никаких проблем, но как быть с точками, где $f$меняет знак. Если нули$f$ конечны, то мы можем взять минимум всех $\delta$s и подведем итог. Что будет, если нули$f$ бесконечны?
Ответы
Как упоминалось в комментариях, приведенное здесь доказательство можно легко изменить, чтобы оно работало для всей$\mathbb{R}^n$.
поскольку $\lvert f \rvert$ равномерно непрерывно, существует $\delta > 0$ такой, что \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Обратите внимание, что если $f(x)f(y) > 0$, тогда \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} что меньше чем $\epsilon/2$ всякий раз, когда $d(x,y) \leq \delta$. Неудивительно, что этот случай оказался довольно тривиальным. Теперь обратим внимание на случай, когда$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Поскольку он всегда считает, что\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} достаточно показать, что $\star$ подразумевает наличие $z$ такой, что $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ и $f(z) = 0$. Потому что тогда\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} всякий раз, когда $d(x,y) \leq \delta$. поскольку$f$ непрерывно, существование подходящего $z$ следует из непрерывности $f$ и $\star$(как следствие теоремы о промежуточном значении, см., например, здесь ).