Если $f$ - вещественная функция, непрерывная при $a$ и $f(a) < M$, то есть открытый интервал $I$ содержащий такой, что $f(x) < M$ для всех $x \in I$.

Question

У меня есть проблема относительно: Если f - действительная функция, непрерывная в a и f (a) ответе. Если бы я использовал$\epsilon =M-f(a)$ что также $\epsilon >0$ и $ \exists$ $ \delta>0$ так что есть открытый интервал $I$ содержащие такие, что $f(x)<M$ для всех $x \in I$. Я думаю, это тоже правильно, но не уверен.

Кто-нибудь может проверить мой ответ?

$\underline{Edit}$

Теперь позвольте $\epsilon = {M-f(a)}$, ясно $\epsilon >0$, а значит, существует открытый интервал $I=(a-\delta, a+\delta)$, что для любого $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ держит.

Это следует из того $f(x)<M$ для всех $x \in I$

Answer 1

Условие, что $f$ непрерывно на $a$указывает, что \ begin {уравнение} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {уравнение} Другими словами, у нас есть следующее предложение: \ begin {Equation} \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ end {уравнение} И у нас есть утверждение, что \ begin {уравнение} f \ left (a \ right) <M. \ end {уравнение} Используя тот факт, что$M - f\left(a\right) > 0$, у нас есть \ begin {уравнение} \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {уравнение}, что дополнительно указывает, что \ begin {уравнение} \ существует \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {формула} Если такого открытого интервала нет$I$ это $f\left(x\right) < M$ для всех $x \in I$, то у нас есть следующее утверждение: \ begin {Equation} \ forall \ delta> 0, \ exists x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {Equation}, что явно противоречит нашему заключению.