Если $fg$ непрерывно на $a$ тогда $g$ непрерывно на $a$.

Question

Предположим, что $f$ и $g$ определены и конечнозначны на открытом интервале $I$ который содержит $a$, это $f$ непрерывно на $a$, и это $f(a) \neq 0$. Если$fg$ непрерывно на $a$ тогда $g$ непрерывно на $a$.

$\underline{Attempt}$

поскольку $f$ соединяется с $a$ и $fg$ непрерывно в $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

так

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

поскольку $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ непрерывно на $a$

Answer 1

Ваше доказательство неверно. Вы предполагаете существование$\lim_{ x \to a} g(x)$но вы должны доказать существование этого предела. Написать$g(x)$ так как $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ наблюдая это $f(x) \neq 0$ если $|x-a| $достаточно мала. Теперь вы можете видеть, что предел существует и равен$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Существует $\delta >0$ такой, что $|x-a| <\delta$ подразумевает $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Так$|x-a| <\delta$ подразумевает $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ и так $f(x) \neq 0$].