если $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ для всех рациональных чисел $a<b$, тогда $f(x)=0$ ае [дубликат]

Aug 16 2020

Позволять $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$- интегрируемая функция.
Покажи это, если$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ для всех рациональных чисел $a<b$, тогда $f(x)=0$ все почти везде.

Подсказка: сначала докажите$\int\limits_Af=0$ для $A$ открытый набор, затем для $A$ измеримый.

Моя попытка: Пусть $A$ открытый набор в $\mathbb{R}$. Тогда мы можем написать$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ где $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$представляет собой непересекающийся набор открытых интервалов с рациональными конечными точками (возможно ли это?)

Так $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

Тогда как мне использовать результат для измеримых $A$ и, кроме того, после этого делает $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ подразумевает $f=0$э?
Ценю твою помощь

Ответы

ratatuy Aug 16 2020 at 02:27

Я думаю, это просто. Позволять$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ это мера набора $D$. Мы знаем$\mu (A)=0$ и $\mu (B)=b-a$. Интеграл Лебега:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ Потому что $\int_{A} f(x)d\mu=0$( потому что $f(x)=0$ почти везде) и $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Keen-ameteur Aug 16 2020 at 02:46

Вы можете проделать классический трюк с определением коллекции

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

а затем показать, что $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. поскольку$f$ измерим, окончательный желаемый результат последует, потому что в противном случае $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ где $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Позже вы сможете убедиться, что $\mathcal{E}$ это $\sigma$-алгебра, так что если вы покажете это $A\in \mathcal{E}$ для любого открытого набора $A$, то из этого следует, что $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Наконец, так как интервалы с рациональными концами являются счетной базой топологии на $\mathbb{R}$, для любого открытого $A\subseteq \mathbb{R}$ существует набор интервалов с рациональными концами, $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ такой, что $A=\cup (a_k,b_k)$. Используя DCT, вы получаете$\int_A f =0$.