Если $p$ нечетное простое число и $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, тогда $\alpha^2$ не является примитивным корнем по модулю $p$.

Question

Докажите, что это правда, или приведите контрпример, если неверно.

Если $p$ нечетное простое число и $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, тогда $\alpha^2$ не является примитивным корнем по модулю $p$.

Я пытался доказать, что это правда, но не знаю, с чего начать. Я думал об использовании Маленькой теоремы Ферма: если$p$ это простое и $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, тогда $\alpha^{(p-1)}=1$ но как перейти от FLT к первобытным корням? Примитивный корень определяется как элемент$\gamma=\phi(m)$ но как это связано с этой проблемой?

Answer 1

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$. Последний шаг следует из FLT.

Следовательно, порядок $a^2$ мод $p$ самое большее $\frac{p-1}{2}$, поэтому по определению он не может быть примитивным корнем.