Если $p$ нечетное простое число с $p ≡ 3(\mod 4)$, тогда $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
Докажи, правда ли. Если неверно, приведите контрпример. Если$p$ нечетное простое число с $p ≡ 3(\mod 4)$, тогда $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
Доказательство. $p ≡ 3(\mod 4)$ подразумевает $4|p-3$. Теорема Вильсона гласит: если p простое, то$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ или эквивалентно $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Последнее подразумевает $$p|(p-1)!+1.$$
Я не уверен, что оттуда делать, и правильно ли это для начала.
Ответы
Из теоремы Вильсона мы знаем, что $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,
Следовательно, достаточно доказать, что $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
что равносильно доказательству того, что $\frac{p-1}2$ нечетное число
Если $p = 4k+3$, тогда $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ что является нечетным числом.