Если $X = \{ |p(z)|<c\}$, покажем, что граница $X$ является $\{ |p(z)| = c\}$ и каждый компонент $X$ содержит ноль из $p$.

Question

Я пробую задачи комплексного анализа института, в котором я не учусь, и меня поразила именно эта проблема.

Позволять $p$ - непостоянный многочлен, $c>0$ и $X=\{z:p(z)<c\}$. Докажи это$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ а также каждый компонент связности $X$ содержит ноль $p$.

Попытка: Пусть $C$ быть связным компонентом $X$. потом$\partial C$ это подмножество $\partial X$ и другие $|p(z)| \leq c$. Но я не могу придумать другого аргумента, кроме этого.

Итак, прошу вас пролить свет на то, как следует подходить к этой проблеме.

Answer 1

Простые свойства $p$:

i) Поскольку $p$ - непостоянный многочлен, $p$принимает каждое сложное значение. Таким образом, множества$X=\{|p|<c\}$ и $\{|p|=c\}$ непусты.

ii) Множество $X$ открыта непрерывностью $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ в виде $|z|\to\infty.$

Из iii) следует, что $X$ограничено. Иначе$X$ будет содержать последовательность $z_n$ такой, что $|z_n|\to \infty,$ следовательно $|p(z_n)|\to \infty,$ нарушая определение $X.$

Позволять $z\in \partial X.$ потом $z$ предел последовательности в $X.$ Из этого следует $|p(z)|\le c.$ Мог $|p(z)|<c$случиться? Нет, потому что тогда$z\in X$и это не может быть пограничной точкой. Это следует из того$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

Теперь предположим $|p(z)|=c.$ Позволять $r>0.$ потом $p(D(z,r))$ открыто по теореме об открытом отображении, следовательно, содержит точки модуля меньше, чем $c$ и точки модуля больше, чем $c.$ Таким образом $D(z,r)\cap X$ и $D(z,r)\cap X^c$оба непусты. поскольку$r$ был произвольным, $z\in \partial X.$ Это с последним абзацем доказывает $\partial X = \{|p|=c\}.$

Напомним теорему о максимальном модуле: предположим, что $U$- ограниченное открытое связное множество. Позволять$f$ быть непрерывным на $\overline U$ и голоморфный на $U.$ Если максимум $|f|$ происходит в $U,$ тогда $f$ постоянно.

Итак, теперь позвольте $C$ быть связным компонентом $X.$ Мы знаем $\partial C \subset \partial X,$ что подразумевает $|p|=c$ на $\partial C.$ И конечно $|p|<c$ в $C.$

Предполагать $C$ не содержит нуля $p.$ потом $p$ отличен от нуля на $\overline C,$компактный набор. Таким образом$|p|$ достигает положительного минимума в некоторых $z_0 \in \overline C.$ Согласно MMT, $z_0\in C.$ Но обратите внимание $1/p$удовлетворяет гипотезам ММТ. Таким образом, снова используя MMT,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

поскольку $|p(z_0|<c,$ у нас есть противоречие, и все готово.