Есть ли база данных о конкретных значениях $j$-инвариантно?
Есть ли база данных, в которой есть все известные конкретные значения $j$-инвариантно?
Ответы
Что вы подразумеваете под «известным»? Для любой$\tau\in\mathbb C$ с участием $\text{Im}(\tau)>0$, можно вычислить $j(\tau)$с точностью, которую позволяет компьютер, но, по-видимому, вы имеете в виду не это. В общем, если$\tau$ алгебраический и $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, тогда $j(\tau)$ трансцендентален $\mathbb Q$, поэтому вам нужно объяснить, что означает «знание» значения. Когда$\tau$ квадратично над $\mathbb Q$, соответствующая эллитпическая кривая имеет CM, и $j(\tau)$ порождает поле классов Гильберта $\mathbb Q(\tau)$. В этом случае можно в принципе определить поле, а затем написать$j(\tau)$с точки зрения основы для этого поля. Это то, что ты имеешь в виду? Если так, то я уверен, что многие примеры были разработаны за эти годы, но я не знаю места, где они были собраны. Хотя, по-видимому, они были проделаны для всех мнимых квадратичных полей небольшого числа классов. Есть пример расчета для$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$в моей книге « Продвинутые темы арифметики эллиптических кривых» (Пример II.6.2.2), где показано, что$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (Поле $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ имеет класс номер 2, а его поле классов Гильберта равно $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
Любая (конечная) база данных, содержащая явные выражения для j-инвариантов эллиптических кривых с CM, может быть расширена путем добавления j-инвариантов изогенных эллиптических кривых. Учитывая эллиптическую кривую$E$ в форме Вейерштрасса и конечной подгруппе $F$из него в классической статье Велу приводятся явные уравнения для$E':=E/F$ и изогения $E\rightarrow E'$. Теперь предположим, что мы работаем над$\Bbb{C}$ и мы знаем что $E$ изоморфен $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, следовательно, знание особой ценности $j(\tau)$. В$j$-инвариантный $E'$, который может быть вычислен явно с использованием его уравнения, а затем дает другое специальное значение $j(\tau')$ модульного $j$-функция где $\tau'$ это период $E'$. В качестве альтернативы можно начать с целевой кривой и подняться вверх, чтобы получить$j$-инвариант эллиптической кривой над ней. Для этого предположим форму Лежандра$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ для эллиптической кривой CM $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ предоставлен ($\lambda$- алгебраическое число). Другими словами, предположим, что у нас есть$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$в нашей базе данных. Рассмотрим изогению$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. Анализируя возможные формы Лежандра для$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$можно показать свою $j$-инвариантный $j(2\tau)$ принадлежит $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Итак, есть три кандидата на $j(2\tau)$, каждое в виде явного алгебраического числа. Приблизительный$j(2\tau)$ численно через $q$-расширение, можно выбрать правильное выражение для $j(2\tau)$среди них и добавить в базу данных. Детали этого подхода к вычислениям$j(2\tau)$ с точки зрения $j(\tau)$можно найти в этой статье . Аналогичный метод существует для$j(3\tau)$. Итак, начиная, например, с$j(i)=1728$, для любых двух натуральных чисел $m$ а также $n$, точное выражение для $j\left(2^m3^ni\right)$может быть получен. Например$j(2i)=66^3$ а также $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.