Есть ли непостоянная функция $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ такой, что $f(x) = f(x + 1/x)$?

Question

Ищу непостоянную функцию $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ такой, что $f(x) = f(x + 1/x)$, или доказательство того, что такой функции не существует.

Замена $x$ от $1/x$ показывает, что мы должны иметь $f(x) = f(1/x)$.

Меня больше всего интересует (не) существование гладких непостоянных$f$.

Answer 1

Непрерывных решений должно быть бесконечно много, по одному для каждой непрерывной функции $g:[1,2]\to \mathbb{R}$ с участием $g(1)=g(2)$. После наложения соответствующих граничных условий и условий дифференцируемости на$g$, мы можем сделать функцию гладкой.

Позволять $x_1=1$ а также $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. потом$1\le x_n\le n$ и расходимостью гармонического ряда $x_n\to\infty$ в виде $n\to \infty$. С$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$ строго возрастает $[1,\infty)$, каждый $x\in[1,\infty)$ принадлежит ровно одному $[x_{n+1},x_{n+2})$ а также $x=h^n(y)$ ровно для одного $y\in[1,2)$. Затем мы определяем$f(x)=g(y)$. Используя соотношение$f(x)=f(1/x)$, это распространяется на $(0,\infty)$. Он непрерывен, поскольку он непрерывен на каждом$[x_n,x_{n+1}]$ и соглашается в конечных точках.