Есть ли в нетривиальной конечной разрешимой группе подгруппа индекса простой степени для каждого простого делителя?

Aug 18 2020

Хорошо известно, что любая максимальная подгруппа группы $G$ имеет индекс простой степени, если $G$ - нетривиальная конечная разрешимая группа.

Мой вопрос: можем ли мы доказать, что для каждого простого числа$r\in\pi(G)$ существует максимальная подгруппа в $G$ индекса мощность $r$?

Я пытался это доказать, но обнаружил, что ошибся в доказательстве. Вот моя попытка:

Определить $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Мы утверждаем, что $\pi^*$пустой набор. Предположим, что$\pi^*$не пусто. Тогда индексы максимальных подгрупп - это в точности степени простых чисел в$\pi(G)\setminus\pi^*$. Возьмите Силов$q$-подгруппа $S_q$ для каждого $q\in\pi(G)$. За$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, возьмем произвольную максимальную подгруппу $M$ из $G$ такой, что $|G:M|$ это сила $p$. У нас есть$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ Это означает, что $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ не содержится ни в какой максимальной подгруппе $G$. Но$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ правильно содержится в $G$, что противоречит.

Моя ошибка :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ не обязательно является подгруппой $G$, так что на самом деле я не могу получить никакого противоречия.

Не могли бы вы дать мне несколько идей? Думаю, мне стоит доказать это по-другому. Любая помощь приветствуется. Благодаря!

Ответы

6 DavidA.Craven Aug 18 2020 at 16:49

Это теорема Холла о разрешимых группах. Говорится:

Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда для каждого $p\mid |G|$, существует $p'$-подгруппа $H$ чей индекс является степенью $p$.

Подгруппа $H$ такой, что $|H|$ и $|G:H|$взаимно просты, называется холловой подгруппой , и если$\pi$ набор простых чисел такой, что $p\in \pi$ разделяет $|G|$ если и только если он делит $|H|$, тогда $H$ это зал $\pi$-подгруппа.

Доказать это без подсказок - непростая задача. Вы можете найти это в своем любимом учебнике или следовать приведенному ниже плану в одном направлении. Позволять$\pi$ - набор простых чисел, и мы стремимся доказать существование холловского $\pi$-подгруппа в $G$.

Позволять $K$ - минимальная нормальная подгруппа группы $G$. Если$K$ это $\pi'$-subgroup, тогда все готово.
Если $K$ это $p$-подгруппа для $p\in \pi$, то вы можете использовать теорему Шура-Цассенхауза как прообраз холловской $\pi$-подгруппа в $G/K$.

Вы можете найти полное доказательство здесь , с.28.

4 JCAA Aug 18 2020 at 16:49

Да, для каждого набора простых чисел конечная разрешимая группа содержит холлову подгруппу, порядок которой делится только на эти простые числа, а индекс не делится ни на одно из них. Теперь возьмем набор всех простых чисел, которые делят порядок группы, кроме одного. Соответствующая холловская подгруппа - это то, что вам нужно.