Факторы абелевых групп - аппроксимируемая конечность и элементы порядка $p$

Question

Предположим $A$ абелева группа и $\pi$представляет собой набор простых чисел. А$\pi$-число - произведение простых чисел из $\pi$.

Предположим, что для каждого $p \in \pi$, $A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ имеет конечную экспоненту.

Предположим также, что $A$ является $\pi$-сниженный; нет нетривиальных подгрупп$A$ которые $\pi$-делимый. То есть для любого$H \leq A$ есть $h \in H$ и $m$ а $\pi$-число такое, что для любого $x \in H$, $x^m \neq h$.

Позволять $j \in \mathbb{N}$, $p \in \pi$ и $m = p^jn$ а $\pi$-число где $n$ относительно проста с $p$.

1. почему $A/A^m$ финитно конечная?

2. Почему $A^{p^j}/A^m$ не иметь элемента порядка $p$?

Вот контекст из Бесконечных разрешимых групп:

Answer 1

$A/A^m$ абелева группа конечного показателя (в частности, показателя, делящего $m$), и каждая абелева группа конечной экспоненты является прямой суммой циклических групп, в частности финитно аппроксимируемых. См., Например, ответы в бесконечной абелевой группе, где все элементы имеют порядок 1, 2 или 4 .

Поскольку каждый элемент $a\in A/A^m$ удовлетворяет $a^m=1$, каждые $p^j$я сила $a^{p^j}$ удовлетворяет $(a^{p^j})^n=1$. Таким образом, порядок$a^{p^j}$ разделяет $n$, и так не может быть $p$. Это,$A^{p^j}/A^m$ не имеет элементов порядка $p$.