Функтор фибрантной замены
Во фрагменте ниже (взятом из книги Хови о MC) почему $$X\mapsto QX$$но тогда направление меняется на противоположное :$$QX\to X$$?
Кроме того, я хотел бы понять в этом абзаце, как $\alpha$ и $\beta$используются для получения этих функторов замены: скажем , они оба используются для функтора замещения кофибрант?

Ответы
Аксиома функториальной факторизации утверждает, что каждая карта подвергается сомнению посредством кофибрации, за которой следует ациклическое (тривиальное) расслоение (и вы также можете перенести «тривиальную» часть на фактор совместного расслоения). Учитывая карту$\varnothing \to X$, который всегда существует как $\varnothing$ является исходным, мы применяем эту аксиому, чтобы получить факторизацию $$ \varnothing \to QX \to X $$где первое - кокослоение, а второе - тривиальное расслоение. Это твоя карта$QX \to X$. Однако в процессе этого используется функтор, который действует как$X \mapsto QX$. То, что это функтор, является «функториалом» в функториальной факторизации. Это не значит, что есть карта$X \to QX$. Другими словами, кофибрантная замена дает функтор$Q$ с $Q(X)=QX$. Он просто написал это как$X \mapsto QX$ (и нет $X \to QX$, что означало бы что-то другое и неправильное).