Функтор фибрантной замены

Aug 19 2020

Во фрагменте ниже (взятом из книги Хови о MC) почему $$X\mapsto QX$$но тогда направление меняется на противоположное :$$QX\to X$$?

Кроме того, я хотел бы понять в этом абзаце, как $\alpha$ и $\beta$используются для получения этих функторов замены: скажем , они оба используются для функтора замещения кофибрант?

Ответы

2 Randall Aug 19 2020 at 20:49

Аксиома функториальной факторизации утверждает, что каждая карта подвергается сомнению посредством кофибрации, за которой следует ациклическое (тривиальное) расслоение (и вы также можете перенести «тривиальную» часть на фактор совместного расслоения). Учитывая карту$\varnothing \to X$, который всегда существует как $\varnothing$ является исходным, мы применяем эту аксиому, чтобы получить факторизацию $$ \varnothing \to QX \to X $$где первое - кокослоение, а второе - тривиальное расслоение. Это твоя карта$QX \to X$. Однако в процессе этого используется функтор, который действует как$X \mapsto QX$. То, что это функтор, является «функториалом» в функториальной факторизации. Это не значит, что есть карта$X \to QX$. Другими словами, кофибрантная замена дает функтор$Q$ с $Q(X)=QX$. Он просто написал это как$X \mapsto QX$ (и нет $X \to QX$, что означало бы что-то другое и неправильное).