$G$ это точка внутри треугольника $ABC$ такой, что $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, где $[XYZ]$ это площадь $XYZ$. Покажи это $G$ это центроид $ABC$.
Позволять $G$ быть точкой внутри треугольника $ABC$ такой, что $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, где $[XYZ]$ это площадь треугольника $XYZ$. Покажи это$G$ это центр тяжести треугольника $ABC$.
Моя попытка : С тех пор$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, так что у нас есть $CG$, $AB$ и $GB$, являются $3$ медианы, поэтому $G$ центроид $ABC$.
Я не уверен в этом.
Ответы
Позволять $CG\cap AB=\{C_1\}$, $BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,
$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$, $S_{\Delta GBA_1}=a_2$ и $S_{\Delta GCA_1}=a_1.$
Таким образом, $$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$ который дает $$a_1=a_2$$ и отсюда $A_1$ это середина $BC$.
Вы можете закончить это сейчас?
Не совсем, если только треугольник $ABC$ равносторонний.
Но это наводит на мысль, если вы можете использовать аффинные преобразования. У нас есть следующие факты:
При аффинном преобразовании соотношение между двумя площадями постоянно.
Если $(ABC)$ и $(A'B'C')$ два невырожденных треугольника, то существует аффинное преобразование, которое переводит один в другой.
Следовательно, для решения задачи в целом достаточно решить ее для равностороннего треугольника. И вот оно.
Есть простое доказательство, если вы знаете барицентрические координаты .
Вкратце, барицентрические координаты точки $M$ внутри треугольника $ABC$ это система $(w_A,w_B,w_C)$ из $3$ числа (называемые «весами»), которые нужно разместить на вершинах $A,B,C$ получить центр масс в $M$.
Есть простой способ найти эти веса (так называемая площадная интерпретация барицентрических координат):
$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$ (https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),
Замечание: По своему определению барицентрические координаты уникальны с точностью до множителя; самый обычный множитель$1/[ABC]$: в этом случае мы называем их нормализованными барицентрическими координатами, а их сумма равна$1$.
Если все области $[GBC]=[GCA]=[GAB]$ равны, нормированные барицентрические координаты равны $(1/3,1/3,1/3)$: мы узнаем те из центроида; это позволяет сделать вывод из-за единства барицентрических координат.
Замечание: барицентрические координаты имеют смысл, даже если$M$ вне треугольника $ABC$: просто рассмотрите в (1), что области являются ориентированными областями; Например$[MBC]$ считается положительным, если идет от $M$ к $B$, затем к $C$, поворачивается с прямой ориентацией, иначе $[MBC]$ берется со знаком минус.