Гомоморфизм $k$-алгебры индуцируют гомоморфизм максимального спектра

Aug 19 2020

За $k$ алгебраически замкнутое поле, определим аффинное $k$-алгебра быть конечно порожденной $k$-алгебра, которая приведена (т.е. $\sqrt{(0)} = (0)$). Для аффини$k$-алгебра $A$, мы определяем $\operatorname{specm} A$быть набором максимальных идеалов. Тогда имеем следующее предложение:

Если $\alpha: A \rightarrow B$ является гомоморфизмом аффинных $k$-алгебры, то $\alpha$ индуцирует непрерывное отображение топологических пространств $\phi: \operatorname{specm} B \rightarrow \operatorname{specm} A$ где для максимального идеала $m \subset B$,

$$ \phi(m) = \alpha^{-1}(m). $$

Мне трудно понять первую половину доказательства, которое гласит:

Доказательство:

  1. Для любой $h \in A$, $\alpha(h)$ обратима в $B_{\alpha(h)}$ (что означает локализацию $B$ в $\alpha(h)$), поэтому гомоморфизм $A \rightarrow B \rightarrow B_{\alpha(h)}$ продолжается до гомоморфизма $$ \frac{g}{h^m} \rightarrow \frac{\alpha(g)}{\alpha(h)^m}: A_h \rightarrow B_{\alpha(h)} $$

  2. Для любого максимального идеала $n \in B$, $m = \alpha^{-1}(n)$ максимально в $A$ потому как $A/m \rightarrow B/n$ является инъективным отображением k-алгебр, откуда следует, что $A/m$ является $k$.

Я не верю, что шаг 1 используется где-либо еще в доказательстве, поэтому кажется, что шаг 2 должен быть следствием шага 1. Может ли кто-нибудь объяснить, как? В частности, является ли шаг 1 причиной инъективности карты на шаге 2? Спасибо!

Ответы

4 AlexYoucis Aug 19 2020 at 16:14

Не знаю, где вы читаете, но это кажется слишком сложным. Предположим, что$\alpha: A\to B$ это карта $k$-алгебры, где $A$ и $B$являются конечным типом. Позволять$\mathfrak{m}$быть максимальным идеалом. Мы хотим показать, что$\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$- максимальный идеал. Обратите внимание, что индуцированная карта

$$\alpha:A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})\to B/\mathfrak{m}$$

инъективен, если $\alpha(a\alpha^{-1}(\mathfrak{m}))=\alpha(a)\mathfrak{m}$ равен нулю, то это говорит о том, что $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ так что $a\in \alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ который говорит, что $a\alpha^{-1}(m)$ равно нулю.

Теперь отметим, что, хотя нас может беспокоить то, что $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$не является максимальным, это конечно простое. Действительно, если$ab\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ тогда $\alpha(ab)\in \mathfrak{m}$. Но это означает, что$\alpha(a)\alpha(b)\in\mathfrak{m}$ так что либо $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ или же $\alpha(b)\in\mathfrak{m}$. Но это означает именно то, что$a\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ или же $\alpha^{-1}(b)\in\mathfrak{m}$. поскольку$a$ и $b$ были произвольными, мы видим, что $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$является простым по желанию ( примечание: конечно, это не использовалось$\mathfrak{m}$ максимальна и работает для любого простого идеала).

Итак, мы видим, что $\alpha$ индуцирует включение области целостности $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ в поле $B/\mathfrak{m}$. Если бы мы имели дело с произвольными кольцами, то это был бы полный объем того, что мы действительно могли бы сказать. Но тот факт, что мы имеем дело с конечным типом$k$-алгебры - это то, что говорит день.

Как же так? Nullstellensatz с тех пор$B$ является конечномерным $k$-алгебра у нас есть что $B/\mathfrak{m}$ является конечномерным $k$-алгебра! Так, в частности, поскольку$A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ встраивается в $B/\mathfrak{m}$ как $k$-алгебра мы видим, что $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ является областью целостности, которая также является $k$-алгебра, конечномерная над $k$. Достаточно.

А именно, в абсолютной полной общности, если $\ell$ это поле и $R$ является областью целостности, которая является $\ell$-alebrawith $\dim_\ell R<\infty$ тогда $R$ это поле.

Почему? Мы должны показать это для любого$r\in R$ которая не равна нулю, что $r$имеет мультипликативный обратный. Но это как раз и означает, что карта

$$m_r:R\to R:x\mapsto rx$$

обратима - очевидно, если $r$ имеет мультипликативный обратный, то $m_r^{-1}=m_{r^{-1}}$ и если $m_r$ обратимо, то $1$ находится в образе $m_r$ что означает, что существует $x$ такой, что $1=m_r(x)=rx$.

Но обратите внимание, что поскольку $R$ это домен, который $m_r$ инъективно - если $m_r(x)=0$ тогда $rx=0$ что означает, по свойству домена, что $x=0$ поскольку $r\ne 0$. Но обратите внимание, что$m_r$ это явно карта $k$-векторных пространств, и поскольку любой инъективный эндоморфизм конечномерного векторного пространства является автоморфизмом, мы выигрываем!