Идеал границы $G/U \subset \overline{G/U}$
Позволять $G$ - полупростая алгебраическая группа, $B \subset G$ является борелевской подгруппой и $U \subset B$ унипотентный радикал $B$. Мы можем рассмотреть разнообразие$G/U$. Обозначим также$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Известно, что естественный морфизм$G/U \rightarrow \overline{G/U}$открытое вложение. Позволять$\partial{G/U}$ быть границей $G/U$ внутри $\overline{G/U}$. Обратите внимание, что$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, где сумма проходит через доминирующие символы $\mu$ из $G$ (фиксируем некоторый максимальный тор $T \subset B$, здесь $V(\mu)$ неприводимое представление $G$ с наибольшим весом $\mu$).
Утверждение: идеал $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ генерируется $V(\mu)$ с участием $\mu$быть регулярным (строго доминирующим). Как доказать это утверждение? Может есть какие ссылки?
Ответы
Вот один из способов увидеть это, классифицируя $G$-инвариантные радикальные идеалы. (У этого есть бонус в том, что он неявно описывает границу.)
Лемма: $G$-инвариантные идеалы $I$ из $\mathbb{C}[G/U]$ находятся в биекции с наборами весов $S$ так что для $\lambda\in S$ а также $\mu > \lambda$, $\mu\in S$. Такой идеал радикален тогда и только тогда, когда для всех$\lambda\notin S,$ у нас есть $n\lambda\notin S$ для всех положительных целых чисел $n$.
Чтобы увидеть это, обратите внимание, что $G$-инвариантность говорит вам, что $I$ должен быть разделен на сумму $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ для некоторого набора $S$. Сейчас если$\lambda\in S,$ карта умножения $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ сюръективно и, следовательно, $\mu > \lambda$ также должен быть в $S$.
Утверждение о радикальных идеалах следует аналогичным образом.
Из этого утверждения видно, что минимальный ненулевой $G$-инвариантный радикальный идеал (обязательно вырезающий границу) соответствует взятию $S$ набор всех регулярных весов.