Идентификатор поляризации if оператор

Question

Позволять $\mathcal{H}$ быть гильбертовым пространством над $\mathbb{C}$. Я знаю (и доказал) следующее поляризационное тождество: \ begin {eqnarray} \ langle x, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y \ rangle \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} для$x,y \in \mathcal{H}$. Теперь я хотел бы доказать следующий результат как следствие (\ ref {1}): \ begin {eqnarray} \ langle Ax, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0 } ^ {3} i ^ {k} \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray} где$A$ - любой заданный линейный ограниченный оператор на $\mathcal{H}$. Если вы измените$x$ к $Ax$в (\ ref {1}) вы получите: \ begin {eqnarray} \ langle Ax, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle Ax + iy, Ax + iy \ rangle \ tag {3} \ label {3} \ end {eqnarray}, но не (\ ref {2}), и я застрял на этом этапе. Как (\ ref {1}) подразумевает (\ ref {2})?

Answer 1

Благодаря комментариям, я думаю, что понял. Во-первых, мы должны показать, что поляризационное тождество выполняется и в более общем контексте, а именно, если$T:\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$ удовлетворяет следующим свойствам:

(а) $T(x,\alpha y + \beta z) = \bar{\alpha}T(x,y)+\bar{\beta}T(x,z)$

(б) $T(\alpha x + \beta z, y) = \alpha T(x,y) + \beta T(z,y)$

тогда следует, что:

\ begin {eqnarray} T (x, y) = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} T (x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y) \ tag {1 '} \ label {1.1} \ end {eqnarray}

Доказательство (\ ref {1.1}): Напишите:$$T(x,y) = T\bigg{(}\frac{1}{2}(x+iy+x-iy), \frac{1}{2i}(x+iy - (x-iy))\bigg{)}$$ Используя свойства (a) и (b), получаем: $$T(x,y) = -\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$

Обратите внимание, что: $$-\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)] = \frac{1}{4}i[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$ и, снова используя (a) и (b), мы также имеем: $$\frac{1}{4}i [-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)] = \frac{1}{4}i[2T(x,iy)-2T(iy,x)] = \frac{1}{4}i[-2iT(x,y)-2iT(y,x)] = \frac{1}{2}[T(x,y)+T(y,x)] = \frac{1}{4}[T(x+y,x+y)-T(x-y,x-y)]$$ и (\ ref {1.1}) следует.

Теперь результат следует, положив $T(x,y) := \langle Ax,y\rangle$ для всех $x,y \in \mathcal{H}$.