Iff условия для $C^1$-диффеоморфизм иметь $L^1$ или $L^\infty$ Якобиан

Aug 19 2020

Позволять $\Delta,D$ быть двумя открытыми подмножествами $\mathbb{R}^d$, и разреши $\varphi:\Delta \rightarrow D$ быть $C^1$-диффеоморфизм с определителем Якоби $J_{\varphi}.$

  1. Докажи это $\lambda_d(D)<+\infty$ если и только если $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

  2. Докажи это $J_\varphi$ ограничен $\Delta$ если и только если $\exists c>0$ такой, что для всех открыт $\Omega \subset\Delta$, $\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

Для части 1 результат следует из $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

Для части 2, если $J_\varphi$ ограничен, $\exists c>0$ такой, что для всех открыт $\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

Как мы можем доказать обратное?

Ответы

CalvinKhor Aug 19 2020 at 00:51

Напомним, что для любой непрерывной функции $f$ определенная в окрестности точки $x\in\mathbb R^d$, $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

Предположим, что непрерывная функция $|J_\varphi|$был безграничным. Тогда для каждого$n\in\mathbb Z_{>0}$, Существует $x_n\in \Delta$ такой, что $|J_\varphi(x_n)|>2n$. Поэтому при достаточно малых$r_n>0$, $$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$ что сказать $$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$ так что нет такого $c>0$ может существовать.