IMO 2003 / G1: Покажите, что $PQ=QR$ тогда и только тогда, когда биссектрисы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ совпадают с $AC$.

Aug 18 2020

Позволять $ABCD$- вписанный четырехугольник. Позволять$P$, $Q$, $R$ быть основаниями перпендикуляров от $D$ к линиям $BC$, $CA$, $AB$соответственно. Покажи то$PQ=QR$ тогда и только тогда, когда биссектрисы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ совпадают с $AC$.

Вот диаграмма:

Я хочу использовать проективное гео.

Мой прогресс : хорошо известно, что$P,Q,R$ коллинеарны [линия Симсона]

А теперь лемма.

Лемма : дан циклический четырехугольник$ABCD$, биссектриса угла $\angle ABC$ и $\angle ADC$ совпадают с $AC$ если и только если $ABCD$ гармоничен.

Доказательство : если$ABCD$ гармоничен, то $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , теперь применяя теорему о биссектрисе угла, все готово.

Мы можем вернуться назад, чтобы доказать обратное.


Итак, перефразируем вопрос:

Позволять $ABCD$- вписанный четырехугольник. Позволять$P$, $Q$, $R$ быть основаниями перпендикуляров от $D$ к линиям $BC$, $CA$, $AB$соответственно. Покажи то$Q$ это середина $PR$ если и только если $ABCD$ гармонично:

Теперь, поскольку меня просят использовать Projective geo, я планирую показать $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Теперь я могу получить$P_{\infty}$когда я рассматриваю линию, параллельную линии Симсона, но я не могу продолжить ее выбор. Я взял линию, параллельную$PR$ через $D$, но не могу продолжить ..

Ответы

3 Yesit'sme Aug 18 2020 at 21:29

Расширить $DQ$ встретить круг в $X$.Тогда BX будет параллелен линии simson, как указано в комментарии.

Если часть: Теперь пусть $BX$ встретиться $AC$ в $Y$.Принимайте перспективу в $B$ на линию $AC$ показать это $(Y,Q,A,C)$ гармоника. Теперь займемся перспективой $X$ на круг, чтобы показать, что $ABCD$гармоничен. Другое направление доказывается аналогично.