Интеграция $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Dec 31 2020

Я хотел интегрировать $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Я знаю, что$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ где сумма по всем $2^{n-1}$ возможное $\pm$.
Но совершенно очевидно, что это сложно интегрировать.
Из этого я узнал о формуле Вернера , которую я считаю довольно менее сложно решить данную проблему. Но я не знаю, как поставить эту формулу для произвольного$n$ для данной проблемы.

Спасибо, что помогли мне заранее.

Ответы

1 HenryLee Dec 31 2020 at 05:56

Ваш вопрос: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ мы могли бы попробовать и использовать тот факт, что: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ а затем скажите: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ эту первую часть сделать довольно просто: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ теперь самая сложная часть вычислений: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ а затем, очевидно, интегрируя результат