Интегрирование крутящего момента для круговой токовой петли в магнитном поле [закрыто]

Aug 16 2020

Я пытаюсь вывести формулу крутящего момента на круговой токовой петле внутри магнитного поля. Я знаю, что формула такая:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Где I - ток, B - магнитное поле, а A - площадь.

Моя попытка до сих пор:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Теперь, если формула для крутящего момента: $\tau=bF\sin{\theta}$, а также $b = r\sin{\alpha}$, тогда

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

В конечном итоге, если я возьму интеграл этого последнего уравнения, я не могу точно понять, как интегрировать $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Я предполагаю, что здесь кроется мое недоразумение: я могу сказать, в чем состоит интеграл $d\vec{s}\times \vec{B}$будет, так как я знаю диаметр круга. Однако я думаю, что нет возможности выразить$\sin{\alpha}$ относительно $ds$.

Я ошибаюсь? Спасибо

Ответы

1 SarGe Aug 16 2020 at 18:28

Вы не использовали векторные обозначения, так что это выглядит ужасно. Кроме того, вы использовали$M$ для крутящего момента (он должен быть $\tau$), а не для магнитного момента (которые являются общепринятыми символами).

Доказательство:

Круговая петля лежит в $x-y$ самолет с радуисом $r$ и центр в исходной точке $O$. По нему течет постоянный ток против часовой стрелки. Есть однородное магнитное поле$\vec B$ направлен на положительный $x$-ось.

Рассмотрим элемент $d\vec s$ на кольце под углом $\theta$ сужение угла $d\theta$в происхождении. Крутящий момент на этом элементе равен

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$


Примечание: я пропустил расчетную часть. Также вы можете взять$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, Я взял только $x$-компонент для простоты. Результат будет таким же. То же самое и с формой проводника, независимо от того, квадрат или круг.

Genoma Aug 16 2020 at 15:28

Я решил это, осознав, что ds на самом деле $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ по формуле длины хорды.

Короче говоря, написав $d\vec{s}\times \vec{B}$ с точки зрения $\alpha$.